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『簡體書』复变函数

書城自編碼: 2521281
分類:簡體書→大陸圖書→自然科學數學
作者: 纪友清 等主编
國際書號(ISBN): 9787030431035
出版社: 科学出版社
出版日期: 2015-01-01
版次: 1 印次: 1
頁數/字數: 150/201000
書度/開本: 16开 釘裝: 平装

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《复变函数》可供普通高等综合类大学院校数学、统计专业以及师范院校数学专业的学生作为教材使用。
內容簡介:
《复变函数》内容主要包括:复数的基本性质、解析函数、复函数的积分理论、级数展开、留数、保形映照、调和函数等基本内容. 除此之外, 对解析开拓、无穷乘积、解析函数的边界行为做了较为初步的介绍.
目錄
前言
第1章 复数
 1.1基本知识
1.1.1复数的表示和运算法则
1.1.2开集、闭集和紧集
1.1.3平面集合的复数描述
1.1.4平面上的连续曲线
1.1.5区域
1.1.6WadaLake:平面上的怪异集合*
 1.2辐角函数
1.2.1辐角函数的多值性
1.2.2辐角函数的定义:函数Argz0γ
 1.3辐角函数的单值区域
1.3.1充分接近的曲线
1.3.2曲线的同伦
1.3.3Riemann的想法
 1.4无穷远点与Riemann球面
1.4.1Riemann球面
1.4.2无穷远点的邻域和C.上的开集
 习题
第2章 复变函数
 2.1复平面与增广复平面上的连续函数
2.1.1基本定义
2.1.2复线性函数fz=αz
 2.2复变函数的导数
2.2.1复变函数导数的定义
2.2.2Cauchy-Riemann方程
2.2.3导数的几何意义
 2.3解析性质
2.3.1曲线的切线
2.3.2局部复线性化
2.3.3保形性蕴涵解析性
 2.4几类特殊的解析函数
2.4.1多项式函数和有理函数
2.4.2指数函数
2.4.3对数函数
2.4.4幂函数
 2.5复合函数的支点以及单值解析分支
2.5.1支点
2.5.2导数等于
 习题
第3章 复函数的积分
 3.1复函数的积分的定义
3.1.1复变量实值函数的积分
3.1.2复函数的曲线积分
3.1.3复曲线积分和实积分的联系
3.1.4两个定义的比较
3.1.5分段光滑曲线
3.1.6一个常用的观察
 3.2矩形区域上的Cauchy定理
3.2.1一个不等式
3.2.2解析函数在一点附近的复积分
3.2.3矩形区域上的Cauchy定理
 3.3原函数
3.3.1定义和基本性质
3.3.2凸区域上的解析函数
 3.4单连通区域上的Cauchy定理
3.4.1定理的证明
3.4.2一般区域上的Cauchy积分定理
 3.5同调形式的Cauchy定理
3.5.1简单闭曲线上的Cauchy积分公式
3.5.2一般形式的Cauchy积分定理
 3.6Cauchy定理的应用
3.6.1解析函数的可微性
3.6.2Cauchy不等式与Liouville定理
3.6.3Morera定理
3.6.4内闭一致收敛
 习题
第4章 级数
 4.1复数项级数
4.1.1基本定义
4.1.2复数项级数的收敛判别准则
4.1.3绝对收敛与复数项级数的Cauchy乘积
4.1.4复函数项级数
4.1.5解析函数项级数的极限
 4.2Taylor展式
4.2.1幂级数
 ……
第5章 解析映射
第6章 调和函数
第7章 解析开拓
第8章 无穷乘积
第9章 保形映照在边界点的行为
附录A Cauchy核与Poisson核
参考文献
索引
內容試閱
第1章复数
1.1基本知识
1.1.1复数的表示和运算法则
复数是形若 z = x +iy的“数”,其中 x, y为实数分别称为复数 z的实部和虚部.i=.1为虚数单位.
复数 x +iy和平面上的点可以一一对应,因此很自然地,平面上点的表示都可以用来标记复数.例如,可以把 x对应复数的实部, y对应复数的虚部,这样就可以把复数表示成坐标x, y的形式.
称复数 z对应的复平面上的点到原点的距离为复数的模长度,记作|z|.显然有|z|= Jx2+ y2;其与原点连线和 x轴的夹角为复数的辐角,记作 arg z .这样,每个复数都可以写作的形式.记号 eiθ表示模为1的复数 cos θ+ i sin θ.复数的加法和乘法定义如下.假设 z1= x1+iy1,z2= x2+iy2,令
z1+ z2=x1+ x2+ iy1+ y2,
z1? z2=x1x2. y1y2+ ix1y2+ x2y1.
请读者自行验证如下性质:
1.交换律 z1+ z2= z2+ z1,z1z2= z2z1;
2.结合律z1+ z2+ z3= z1+z2+ z3,z1? z2? z3= z1? z2? z3;
3.分配律 z1z2+ z3= z1z2+ z1z3;
4.三角不等式 |z1+ z2||z1|+ |z2|.
1.1.2开集?闭集和紧集
点 z0∈ E称为集合 E的内点,若存在δ0使得{z;|z . z0|δ}. E,即 z0附近的一小片全部都是 E中的点.集合 E称为开集,若其只含有内点.开集的余集称为是闭集.点 z0称为是集合 E的聚点极限点,若对任何ε,有 Bz0,ε∩ E= 集合 E的闭包,记作 E,定义为 E = E ∪{E的所有聚点}.若对任何以 z0为心半径为 r的开圆盘 Bz0,r,其内部总是既有 E中的点也有不在 E中的点,则称 z0为集合 E的边界点.对点 z0∈ E,若存在某个正数δ,使得 Bz0,δ∩ E = z0,则称 z0为集合 E的孤立点.
定义1.1.1平面的点集 E称为是紧集,若它的任何开覆盖都有有限的子覆盖.
容易验证以下命题成立.
命题1.1.1 E是闭集当且仅当 E = E.
命题1.1.2 E是紧集当且仅当其是有界闭集.
1.1.3平面集合的复数描述
一般而言,复数这门新语言会给我们带来很多新的方便.平面上的集合,自然也有了新的叙述方式.
例1.1.1以点 z0为心,半径为 r的开圆盘,此时可以写作
Dz0,r ={z;|z . z0| 以点 z0为心,半径为 r的圆周,此时可以写作
Cz0,r ={z;|z . z0|= r}.
例1.1.2椭圆:
|z . a|+ |z . b|= c.
线段 ab垂直平分线:
|z . a|= |z . b|.
例题1.1.1给出平面上直线?射线及线段等点集的复数表示.
1.1.4平面上的连续曲线
定义1.1.2从闭区间[a, b]到复平面 C中的连续映射γ :[a, b]→ C称为是复平面上的连续曲线.
这里所谓的连续性是指对任何γt0和ε0,都存在ρ充分小,使得|γt. γt0|ε,当|t . t0|ρ.
定义1.1.3连续曲线γ称为是简单的,若对任何 t0= t1,t0,t1∈ a, b有γt0=γt1,即其除了端点以外不自交;称其为闭曲线,若它的起点和终点相同,即γa=γb.
这里需要强调的是,曲线和曲线的像集是完全不同的概念.
例1.1.3如下两条显然不同的曲线具有相同的像集:
1.1.5区域
定义1.1.4平面上连通的开集称为区域.
这里所谓的拓扑空间的连通性,在一般的点集拓扑书中,通常称为是道路连通的.它指的是,集合中的任意两点,均可以用一条包含在集合内部的连续曲线连接.例如,复平面 C以及集合 C.{0}都是连通集合.
但是,集合 C和集合 C.{0}比较,有一个截然不同的性质.考察平面上不经过0点的闭曲线γ.
1在集合
C中,γ总是可以连续地收缩为一点;
2在集合
C.{0}中,有些曲线,比如单位圆周,是不能连续地收缩为一点的.
定义1.1.5区域Ω称为复平面上的单连通区域,当且仅当其内部的任何连续闭曲线都可以连续地收缩为一点.
稍后将给出更为常用的单连通区域的定义虽然没有如上定义那么直观.随着课程深入,读者会看到单连通区域以及其上的函数都有很好的性质.
例题1.1.2证明上半平面 H ={x, y∈ R2; y0}和 R2. R+都是单连通区域.
1.1.6 Wada Lake:平面上的怪异集合*
如果不对它们的边界做严格的要求,平面上的区域可能非常复杂.事实上数学家 Takeo Wada曾经给出过一个有名的例子Wada Lake,平面上的三个不同的区域可以有相同的边界!①因此,在随后很多定理的叙述中,如下字句经常出现:假设Ω是复平面上区域,其边界.Ω由有限条简单闭曲线构成
1.2辐角函数
1.2.1辐角函数的多值性
需要注意的是,采用复数的模与辐角的记法时,记号不是唯一的.例如,复数0的辐角可以是任意的.一般而言,假设复数 z的辐角是θ,则对任何整数 k,2kπ+ θ也是它的辐角.这对应用而言,会带来很多麻烦.因为在大多数情况之下,我们只对单值函数感兴趣,而在复数的这种记号下,辐角函数却是一个多值函数.
要想得到一个“单值”形式的辐角函数,就需要对函数的定义域或者值域做点手脚.通常的做法是,我们“限制”它只能取某些值.例如,约定辐角函数取值在[0,2π的范围里,就得到了一个单值的辐角函数.这就是标准的修改值域的办法.但是这种做法并不是那么让人满意,注意如此得到函数不是整个复平面 C上定义的连续函数.所有正实轴上的点,都是函数的不连续点请读者自行验证.此外,不
论你怎样取值,0点总是辐角函数的间断点.以上的讨论说明,下面问题并不平凡:
如何得到一个连续的?单值的辐角函数呢?
先考虑最简单的修改辐角函数的定义域的方法.首先,0点没办法处理,就干脆去掉它.其次,造成辐角函数的多值性的原因,可以归结为环绕0点的“旋转”.因此,要是把定义域缩小,能够使得这种情形不再发生,问题就迎刃而解了.
记区域Ω = C.正实轴 R+∪{0}.从以上的讨论出发,考虑新的辐角函数
arg :Ω → R.
约定 arg i =π 2,而且辐角函数在区域Ω内连续变化.辐角函数沿逆时针变化时增
加,沿顺时针变化时减少,这样,我们就得到了一个连续?单值的辐角函数.例题1.2.11.证明如上定义的辐角函数是连续的单值函数;
2.如果约定 argi=52π ,得到的辐角函数在各点的取值有什么变化?
3.复平面 C去掉0点及以0点为起点的任意射线所得区域之上,能否连续地定义一个单值的辐角函数?
4.环形区域Ω ={z;0 |z| 1}之上,能否连续地定义一个单值的辐角函数?
1.2.2辐角函数的定义:函数 Argz0γ
在实际的问题中,我们所遇到的区域Ω可能非常地复杂.两个自然的问题是:
1.Ω之上能否定义一个单值连续的辐角函数?
2.给定区域Ω内一点 z0处辐角函数 Arg的初值,当 z0沿某条区域Ω内的连续曲线γ连续运动至点 z1时,如何确定辐角函数在区域内另一点 z1处的取值?
稍后会看到,对数函数?幂函数及三角函数等常见的解析函数的定义都和辐角函数有关它们往往也是实际问题中经常出现的函数,因此解决这两个问题是必要的.
定义1.2.1假设 F是区域 E上定义的一个多值函数, Ω是 E的一个子区域.若存在Ω上定义的单值连续函数 f使得 fz∈{F z},.z ∈Ω,则称Ω是 F的一个单值连续区域, f是 F的一个单值连续分支.
请读者自行证明.
命题1.2.1设 z0= 0,则对任何δ|z0|,开圆盘 Dz0,δ都是辐角函数的一个单值连续区域.
假设Ω是复平面 C上不含0点的区域. z0是区域Ω中的点并且取定了它的一个辐角初值 arg z0.现在试着讨论如何利用它来确定区域Ω内其他点处的辐角值.假设γ :[a, b]→ Ω是一条以 z0为起点?终点为 z的分段光滑曲线.记其像集
为 Imγ= {γt,t ∈[a, b]}.令ε = inf{dz, w; z ∈.Ω,w ∈ Imγ}.
显然ε恰是区域Ω的边界到γ的像集的距离.现在从 z0出发,每隔3长度选取一个点,我们得到了有限点列
z0,w1,w2,???,wn = z.
以每个点 zi为圆心,作半径为2ε的圆盘:
Di ={z;|z . wi| },i =1,2,???, n.
2这些圆盘都落在区域Ω之中,覆盖了γ的像集,而且相邻的圆盘 Di和 Di+1相交非空.因此假设我们给定了初始圆盘上 D0之上辐角函数的初值,就可以确定任何一个其他圆盘上辐角函数的取值.特别地,对选定的 z0的初值 arg z0,有唯一确定的定义在 Di上面的辐角函数 arg i : Di → R与其对应.现在可以连续地定义辐角函数在 Imγ之上的取值如下:
1.对开集 Di ∩ Di+1,选定点 zi ∈{γt,t ∈[0,1]}∩∈ Di ∩ Di+1.
2.确定 z0的初值 arg z0.
3.注意到 zi,zi+1∈ Di,假设已经给定了 zi的初值 arg zi,我们就确定了 Di上辐角函数的一个单值分支,记作 arg i .
4.定义 arg z0γ = arg nz,即在最后一个圆盘上,对应的辐角函数在终点 z处的取值.这样就给出了γ的终点 z的一个确定辐角值 arg z0,γz,注意这个取值只依赖于 z0处的辐角初值以及曲线γ的选取.
以上的讨论说明,如果考虑所有从点 z0出发的曲线集合Γz0,则对任何取定的辐角初值 arg z0,可以得到一个定义在Γz0之上的以曲线为变量的单值辐角“函数”.
很自然地,我们希望利用这种办法给出辐角函数的一个更有“数学味道”的定义,很遗憾的是,我们由此得到的仍然是一个多值函数.事实上,考虑 z0= 1, arg z0= 0,以及上半圆周γ+?下半圆周γ.所对应的曲线,容易看出,此时有
尽管如此,在1.3节中我们将利用这一想法讨论辐角函数的单值连续区域.
命题1.2.2假设分段光滑曲线γ :[a, b]→ Dz0,δ满足γa= z0,γb= z,其中开圆盘 Dz0,δ不包含0点.则有 arg z0γ= arg z,其中 arg z是由 arg z0决定的 Dz0,δ上的辐角函数的单值连续分支.
例题1.2.2令 arg 1= 0,考虑区域 C.{0}中的两条曲线
试计算 Arg1γ1和 Arg1γ2的值.
注记1.事实上,我们可以得到γ的原像集合区间[a, b]上定义的一个单值的连续函数.首先利用充分细密的分点 z = t0 但是一般而言,得不到 Imγ上连续单值定义的辐角函数,因为对那些自交的曲线,某些点可能属于不同的开圆盘.而在这些开圆盘之上,取的辐角函数的单值连续分支可能是不一样的.
2.细心的读者可能已经发现,上面定义中分点的选取其实并没有必要那样苛刻.事实上只要能够取到一串落在区域Ω中的相继的开圆盘序列,剩下的讨论几乎都可以类似地成立.但要紧的是,此时不同的开圆盘序列的选取,会不会影响最后得到的辐角值呢?其实,可以利用数学分析中的“加细分划”的技巧来克服这个问题,请读者自己补充证明.
1.3辐角函数的单值区域
下面回到辐角函数定义的问题.为了得

 

 

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