第1 章 质点运动学
自然界的一切物质都是运动的. 实际物体的运动是较复杂的，一般可分为平动、转动
和形变. 所谓平动是指物体整体位置的移动，物体作平动时，物体中任意两点之间连线的
方向保持不变. 为了使讨论的问题简化，本章暂不涉及转动和形变，仅研究一个形状和大
小可以不计但具有一定质量的物体的运动，这样的物体称为质点（particle）. 质点是物理
学中引入的一个理想模型. 平动可以归结为质点的运动.
对于质点的运动，通常从两个方面进行讨论. 首先是单纯地描写质点在空间的运动情
况，即说明它的运动特征，如质点的位置、速度、加速度、轨道等，这部分内容称为质点
运动学. 其次是讨论质点运动产生的原因和控制运动的方法，即说明运动的因果规律，如
牛顿运动定律等，这部分内容称为质点动力学.
本章介绍质点运动学，即讨论质点运动的定量描述问题. 由于在力学理论中普遍采用
了矢量和微积分学等数学方法，为此，本章首先简单介绍矢量及矢量微商的有关知识.
1.1 矢 量
1.1.1 矢量的定义和表示方法
1.矢量的定义
有一些物理量除有大小外，还有方向性. 我们定义：既有大小又有方向并满足平行四
边形加法法则的量为矢量（vector）. 例如，“力”、“位移”、“加速度”等都是矢量.
2.矢量的表示方法
一个矢量可以用一个具有一定长度、一端带有箭头的线段表示. 如图1-1 所示，线段长度
表示相应单位下矢量的大小，箭头所指方向即矢量的方向. 矢量在书写时可以用符号A
??
表示，
在印刷品中则一律用黑斜体字母表示，如A. 矢量的大小（数值）称为矢量的模，表示为A
或A.
3.矢量的相等 负矢量
两个矢量只有大小相等且方向相同时，这两个矢量才相等，如图1-2（a）中A=B. 如
果两个矢量大小相等而方向相反，则称它们互为正负矢量，如图1-2（b）中A= -B或B= -A.
（a） （b）
图1-1 矢量的表示 图1-2 矢量的相等和负矢量
4.单位矢量
如果矢量的模等于1，则该矢量称为单位矢量（unit vector），用符号0 A 表示，即
A= AA0 （1-1）
1.1.2 矢量的加法与减法
一般来说，矢量运算时任一个矢量都可以平移. 如矢量A、B（其夹角为θ）相加，可
通过平移使两个矢量的起点重合，再以二矢量为两边作平行四边形，从两个矢量的起点出
发的平行四边形的对角线矢量就是它们之和C（与A 的夹角为α），如图1-3（a）所示. 但
有时简化为三角形加法更为简便，这就是通过平移使B 的起点与A 的箭头端重合，再从A
的起点连到B 的箭头端的矢量C 就是A、B 之和，如图1-3（b）所示， 即C=A+B=B+A.
（a） （b）
图1-3 矢量的加法
由图1-3 可知，矢量加法满足交换律，同时
C= A2+B2+2ABcosθ （1-2）
arctan sin
cos
B
A B
θ
α
θ
=
+
（1-3）
如果是多个矢量相加，连续运用三角形加法就很容易推广为多边形加法. 如图1-4 所
示，矢量A1、A2、A3、A4、A5 相加，其和为
5
1
i
i= Σ A .
由矢量加法的法则和负矢量的定义，易得矢量减法运算方法
C=A?B=A+?B
如图1-5 所示，矢量A 减矢量B，可通过平移使两个矢量的起点重合，从矢量B 的末
端指向矢量A 的末端的矢量C 就是A、B 的矢量差.
图1-4 多个矢量相加 图1-5 矢量的减法
1.1.3 矢量的乘法
矢量因具有大小和方向两个因素，所以矢量乘法不像标量（无方向的量）那样简单，
根据需要，我们定义三种乘法.
1.数乘
一个标量与一个矢量相乘称为数乘，其乘积仍为矢量，如
αA=B
B=αA
且当a0 时，则B 与A 同向；当aπ2 时，乘积为负值；当θ = π 2 时，乘积为零. 其
中，Bcosθ 称为矢量B 在矢量A 方向上的投影，Acosθ 称为矢量A 在矢量B 方向上的投影.
显然，点乘满足交换律，即
A?B=B?A （1-5）
在定义了矢量的点乘以后，当一个质点在恒力F 作用下作直线位移s 时，恒力所做的
“功”W 就可以简洁地表示为F 与s 的点乘，即
W=F?s
3.叉乘（矢量积）
两个矢量A、B的叉乘积A×B，定义为一个新矢量C，称为A与B的矢积（scalar product）.
其大小定义为
C= |A×B|=ABsinθ （1-6）
式中，θ 为矢量A 与B 之间的夹角，0≤θ ≤π.
矢积A×B的方向规定为既垂直于A，也垂直于B，即垂直于A、B 所在的平面，如
图1-6 所示，其指向可由右手规则（right-hand convention）确定：伸开右手，使除大拇指
以外的其余四指从A 沿小于180o 方向转向B（转角θ 即矢量A 与B 之间的夹角，0≤θ ≤π ），
竖起大拇指，则大拇指所指的方向即矢积A×B的方向.
由上面定义可知，叉乘不满足交换律，而是
A×B= ?B×A （1-7）
引入叉乘后，“力矩”就可以简洁地表示为矢径r（由某一给定点O 指到力F 的作用点
的矢量）与作用力F 的叉乘积，如图1-7 所示. 用M 表示力矩，则
M=r×F
M 的方向垂直于r、F 所在的平面并满足右手法则，M 的大小为
M = rF sinθ = Fd
即力矩等于力和力臂的乘积，这正是读者所熟悉的. 也许不好理解的是：“力矩”本来
是表示一个物体受力后绕某一点旋转趋势的一个物理量，为什么这个量会与旋转平面垂
直呢？我们说这是人为规定的. 有了这个规定，只要知道了M 的方向和大小，根据右
手法则就可以知道这个力矩是使物体绕哪个点、在哪个旋转面内、向哪个方向转. 这
样就省略了很多叙述，非常方便. 而更主要的是：这样规定的矢量，根据实践证明，
它参与矢量运算后所得的结果能与客观实际情况相符，否则这样规定的矢量就是毫无
意义的了.
图1-6 矢量的叉乘 图1-7 力矩的矢量表示
1.1.4 矢量在直角坐标系中的表示
以上我们对矢量的定义和运算都没有涉及坐标系，这意味着矢量及其运算是与坐标系
无关的. 作为一个矢量，它必须满足两个条件：（1）满足加法的平行四边形法则；（2）与
坐标系的选择无关. 例如给定的两个分力，在这个坐标系中运算，相加后得出为10N，则
在另一坐标系中运算结果也必为10N. 正是矢量与坐标系的无关性，为我们引入矢量的坐标
解析表示法提供了理论依据. 常用的正交坐标系有直角坐标系、球坐标系、柱坐标系、极
坐标系、自然坐标系等，其中最直观的是直角坐标系. 我们以矢量在直角坐标系中的解析
表示为例来说明矢量的各种解析运算.
1.矢量的解析表示
矢量合成的逆运算就是分解，多个矢量合成后的矢
量是唯一的，但一个矢量却可以有无数种分解的方法.
如果事先确定了正交分解的方向，矢量的分解却又是唯
一的. 如图1-8 所示，矢量A 在直角坐标系Oxyz 中的分
解为Ax、Ay、Az，即
x A=A +Ay+Az （1-8）
我们规定沿x、y、z 三个坐标轴正向的三个单位矢量分别为i、j、k，称为直角坐标系
的三个基矢. 于是式（1-8）可写为
A= Axi+Ayj+Azk （1-9）
式中，Ax、Ay、Az 分别称为矢量A 在x、y、z 轴上的投影，它们是标量. A 的模与其投影的
关系为
2 2 2
A= Ax +Ay+Az （1-10）
A 的方向可以用它与坐标轴夹角的余弦表示，即
???
= ???
= ??
（1-11）
2.矢量加法的解析表示
矢量A、B 之和也可用解析法表示，因为
x y z
x y z
A A A
B B B
= + +
= + +
A i j k
B i j k
于是
A+B= Ax+Bxi+Ay+Byj+Az+Bzk （1-12）
3.矢量点乘的解析表示
矢量A 与B 点乘的解析表示为
AiB=Axi+Ayj+AzkiBxi+Byj+Bzk
根据点乘的定义及单位矢量的定义有
1
0
? = ? = ? =
? = ? = ? =
i i j j k k
i j j k k i
因此
A?B= AxBx+AyBy+AzBz （1-13）
4.矢量叉乘的解析表示
矢量A 与B 叉乘的解析表示为
A×B=Axi+Ayj+Azk×Bxi+Byj+Bzk
根据叉乘的定义及单位矢量的定义有
× = × = × = 0
× = ? × =
× = ? × =
× = ? × =
i i j j k k
i j j i k
j k k j i
k i i k j
因此
A×B= AyBz ? AzByi+AzBx ? AxBzj+AxBy ? AyBxk （1-14）
1.1.5 矢量的导数
在力学的学习中，我们经常遇到某个力学量（如位移、速度等）对时间的导数. 我们
用A 来表示某个矢量，它是时间的连续函数，一般表示为At . 当t 变化时，矢量A 的大
小和方向都将改变. 设A 的起点O 不动，此时A 的箭头一端在空间扫过的轨迹如图1-9 中曲
线所示. 当t 变为t+Δt 时，矢量A 的增量为ΔA，有
? ΔA=At+ Δt?At
当Δt→0 时，如果ΔAΔt 的极限存在，即得矢量A 的一阶导数
0
lim d
Δt→ t dt
Δ
=
Δ
A A （1-15）
由于直角坐标系的单位矢量不随时间改变，因此在直角坐标系中，
矢量A 的导数表示为
d d d d
d d d d
x y z A t A t A t
t t t t
A= i+ j+ k （1-16）
即，在直角坐标系中，矢量A 的大小和方向的变化可以归结为其在三个坐标轴方向的投影
大小随时间的变化. 注意，这仅在直角坐标系中是成立的，原因就是直角坐标系的基矢不
随时间变化. 根据函数导数的定义，显然有
d[ ] d d
d d d
t t t t
t t t
A +B =A +B （1-17）
d[ ] d d
d d d
t t t t t t
t t t
α
α A = A +α A （1-18）
d[ ] d d
d d d
t t t t t t
t t t
i = i + i
A B A B A B （1-19）
d[ ] d d
d d d
t t t t t t
t t t
A ×B =A ×B +A ×B （1-20）
1.2 质点运动的描述
物质处于永恒的运动中. 在物质的各种运动形态中，最简单而又最基本的运动形式就
是物体在空间的位置变化，这种运动形式称为机械运动. 研究机械运动，首先要有描述运
动的物理量. 本节我们将引入参考系、质点、位矢、速度、加速度等概念和物理量，并研
究它们之间的关系.
1.2.1 参考系 坐标系
1.参考系
纵观宇宙，大到星球、星系，小到原子、粒子以及充满宇宙的电磁辐射，都是处于永
不停止的运动中. 运动是物质的存在形式，是物质的固有属性. 静止只是相对的、短暂的.
而运动是绝对的、长久的，这就是物质运动的绝对性. 例如，地面上的树木、房屋等相对
于地面是静止的，但它们都随地球一起绕太阳运动. 可见，物体运动的描述是相对的. 物
体的机械运动是指它的位置随时间的变化，一个物体的位置总是相对于某一物体或某一物
体系来确定，那么这一物体或物体系就作为描述物体位置的基准，称为参考系（reference
frame）. 例如，在匀速直线运动的火车车厢内，自车顶落下一滴水滴，车厢内的观察者认
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