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| 內容簡介： |
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本书是以作者多年考研辅导讲稿为基础，结合作者对历年考题的研究、命题趋势以及数学的内在规律倾心编写而成的。目的是帮助广大考生在较短时间内系统复习好考研线性代数的内容。 本书全面解析新大纲考试内容与考试要求，列表形式清晰明确，一目了然；总结重要公式与结论，帮助考生常记不忘；归纳典型题型讲解内容，例题分析、详解、评注环环相扣；每讲配精编习题，有针对性地演练、温习。
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| 目錄：
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主观题解题方法与技巧概述
（一）高等数学
（二）线性代数
（三）概率论与数理统计
精编习题
第一部分高等数学
计算题
证明题
应用题
第二部分线性代数
计算题
证明题
第三部分概率论与数理统计①③
计算题
证明题
应用题
习题答案与解析
第一部分高等数学
计算题
证明题
应用题
第二部分线性代数
计算题
证明题
第三部分概率论与数理统计①③
计算题
证明题
应用
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| 內容試閱：
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主观题解题方法与技巧概述
（一）高等数学
在考研数学中，主观题常以解答题形式出现，一般分为计算题、应用题和证明题.近年来，数学1、2、3的各类试卷中，设置9道大题为主观题，分值多达94分.因而，解答好主观题，尽可能取得高分，是考研数学成功的关键.
那么，如何解答好主观题呢？下面就高等数学（微积分）谈谈主观题作答的一些值得注意的问题.
第一，要了解主观题的命题与解题的机理.
命题与解题是攻与守两个方面，两者思维常是互逆的.命题时常将一些条件通过用某些载体来进行包装，设置一些陷阱和钉子，通过综合多个知识点与多种方法来调节题目的难度；解题时则要打开包装，看清本质，绕过陷阱，拔掉钉子，善于综合运用知识点与方法解决问题.
第二，要熟悉主观题解答程序.
主观题解答一般程序是：观察题目的条件和结论，从中充分获取信息，在所建立的知识体系中检索反应，筛选解题方法，组织与表达解题过程.
第三，要掌握和运用通法通则.
考研数学不是竞赛数学，其大多数题目都是考查考试大纲界定的基础知识，因而，大多还是采用常规方法解答，即很多思维属于所谓的定式思维.特别是面对要解决的题目，要能通过观察与分析，准确定位其解题所用的知识点与方法.
第四，要有条理合逻辑表述解答过程.
主观题的解答过程一定要有条有理，详略得当，书写整洁，便于阅卷老师看出得分点，合理使用诸如“显然”、“易得”、“同理”等词，合理规避失分风险.
第五，要掌握一些解题技巧，尽量多记忆一些重要结论，考试时直接运用可以加快解题进程，赢得宝贵时间.
下面，通过例题来感受与体会考研数学中主观题的一些常用的解题思路和解题技巧.
1.认真观察条件与结论，从中充分获取信息
考研数学中，解题所用的条件常用各种形式的载体（例如，极限、抽象函数方程等）来包装，不同的表达形式隐含信息的深浅程度、丰富程度也不尽相同.因此，如何打开包装，充分获取信息，在所建立的知识体系中检索反应相关的知识点，筛选解题方法，进而成功解题显得尤为重要.
【例1】已知fx在点x=a处连续，且limx→af′xx－a=－1，试问fx在点x=a处是否取得极值.如果取得极值，则判定是极大值还是极小值.
【分析】从已知条件中获取有关极值的必要条件和充分条件等信息.
【解】由fx在点x=a处连续可知：limx→afx=fa；
由limx→af′xx－a=－1可得
（1）f′x在点x=a的某去心邻域内存在；
（2）limx→af′x=0；
（3）极限保号性：f′xx－a0（x∈Ua,δ），即f′x0,x∈a－δ,a,
0.x∈a,a+δ.
于是，由一阶导数极值判别法可知：fa为fx的极大值.
实际上，继续深挖还可以得到：f′a=0，f″a=－1.
从而，由二阶导数极值判别法也可得到：fa为fx的极大值.
考研数学中常有以极限为条件的考题，这时就要注意运用极限的相关法则、性质来获取它所传达的信息.
例如，由limx→afxgx=A,limx→agx=0可得limx→afx=0；
由fx连续，limx→0fxx=1可得f0=0，f′0=1，等等.
【例2】设fx是周期为2的周期函数，在点x=1处连续，且满足limx→1ln［fx+3］cosπ2x=2，
求曲线y=fx在点x=－1处的切线方程.
【分析】关键是从条件中获取切点和斜率的信息.
【解】由limx→1ln［fx+3］cosπ2x=2可得
（1）limx→1ln［fx+3］=0，进而由连续性可得limx→1ln［fx+3］=ln［f1+3］=0，f1=－2；由周期性可得f－1=f［－1+2］=f1=－2，故切点为－1,－2.
（2）由等价无穷小、极限四则运算法则、洛必达法则和导数定义可得
limx→1ln［fx+3］cosπ2x=limx→1fx+2cosπ2x=limx→1fx－f1x－1·limx→1x－1cosπ2x
=f′1·limx→11－π2sinπ2x=－2πf′1=2，
即f′1=－π.从而，f′－1=f′1=－π，故斜率为－π.
因此，所求切线方程为y+2=－πx+1.
【例3】设f（x）在（－∞,+∞）内有定义，且对任意的x、y恒有f（x+y）=f（x）+f（y），求∫a－af（x）（1+cos x）dx.
【分析】从积分区间是对称区间［－a,a］，自然想到需考察被积函数的奇偶性；而“对任意的x、y恒有f（x+y）=f（x）+f（y）”可给出fx为奇函数.
【解】因为对任意的x、y恒有fx+y=fx+fy，所以，取x=y=0可得f0=0.取y=－x可得f－x=－fx.从而，fx为奇函数，故∫a－afx1+cos xdx=0.
2.利用各种简化手段尽量简化解答过程
在考研数学中，适时运用诸如对称性、几何意义、截面法计算三重积分、积分线面方程代入线面积分被积式等简化手段，多记忆一些重要公式与结论，都可以快捷计算或简化解答过程.
【例4】已知fx=1－x2·1+∫1－1fxdx+sin x，求fx.
【分析】认识到定积分是数，通过再积分获得关于该数的方程.
【解】设∫1－1fxdx=A，则fx=A+11－x2+sin x.
再在［－1,1］上积分可得A=A+1∫1－11－x2dx+∫1－1sin xdx.
由定积分几何意义可得∫1－11－x2dx=π2，由奇函数积分性质可得∫1－1sin xdx=0.
因此，A=1+Aπ2，解得A=π2－π.于是，fx=22－π1－x2+sin x.
1.类似问题也可能以重积分、线面积分等形式出现.
2.命题时通过某些改变就能考查不同的知识点，调整难度.
例如，改成求∫1－1xfxdx，就综合考查换元积分法与分部积分法.
【例5】设L:x2+y2=1，求∮Lx2+y+1ds.
【分析】1.积分曲线关于坐标轴对称，关于x,y也具有轮换对称性；
2.计算曲线积分，可以利用将积分曲线方程代入被积式得到简化.
【解】由对称性可得∮Lyds=0，∮Lx2ds=∮Ly2ds=12∮Lx2+y2ds，
故∮Lx2+y+1ds=12∮Lx2+y2ds+∮Lyds+∮Lds=32·2π=3π.
重积分、曲面积分情形类似.
3.善于转化问题，学会从不同角度看问题，寻找解题突破口
很多考研数学题都是解题口径宽，解题方法多，考生需要学会从不同角度看问题，找到解决问题的可行方法和最佳方法.
【例6】求极限limx→a+x－a+x－ax2－a2.
【分析】观察可知：视为商，不能直接运用极限四则运算的商法则；视为三项代数和，也不能直接运用极限四则运算的加减法则；但视为两项和x－ax2－a2+x－ax2－a2，则可顺利运用极限四则运算法则解决问题.
【解】原式=limx→a+x－ax2－a2+limx→a+x－ax2－a2=limx→a+1x+a+limx→a+x－ax+ax+ax2－a2
=limx→a+1x+a+limx→a+x－ax+ax+a=12a.
【例7】设2y+sin y－x=0，求y′．
【分析】1.若站在一元隐函数角度，则可对x求导，再利用四则运算求导法则与复合函数求导法则解出y′；若站在二元函数角度，则可以利用偏导数按公式求得y′.
2.若视y为x的函数，则无法显化；若视x为y的函数，则容易显化.因而，可利用反函数求导法.
3.此外，从求导数或求微分角度都能入手并解决问题.
【解】方法1（一元函数）视y=yx，方程两边对x求导2y′+cos y·y′－1=0，解得
y′=12+cos y.
方法2（反函数角度）因为x=2y+sin y，dxdy=2+cos y，所以，由反函数求导法则可得
y′=1dxdy=12+cos y.
方法3（二元函数）设Fx,y=2y+sin y－x，则Fx=－1,Fy=2+cos y，故由公式可得
y′=－FxFy=12+cos y.
方法4（全微分）微分所给方程可得2dy+cos ydy－dx=0，解得dydx=12+cos y.
【例8】计算I=∫+∞0e－t2dt.
【分析】站在一元函数积分角度，无法计算出积分；但站在二元函数重积分角度，借助极坐标却很容易计算出积分.
【解】考虑反常二重积分
I2=∫+∞0e－x2dx∫+∞0e－y2dy=limt→+∞Dte－x2+y2dxdyDt={x,y｜x2+y2≤t2,t0}
=limt→+∞∫π20dθ∫t0re－r2dr=limt→+∞π2·－12e－r2t0=π4limt→+∞1－e－t2=π4，
故I=π2.
……
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