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| 內容簡介： |
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本书精选了近两百个中学生能够看懂的“无字证明”.“无字证明”一般是指仅用图形而无须语言解释就能不证自明的数学结论，其形式往往是一个或一组特定的图片，有时也配有少量的解释说明.本书的每个无字证明都是一个趣题，这些无字证明涵盖了中学数学的方方面面，是罕见的直观反映数学美和数学本质的阅读材料，可作为中学生的课外读物，也可作为本科和高职师范类专业的教材.在新的课程标准强调直观想象这一核心素养的背景下，本书可满足中学和大学数学教师对教学素材的需求.
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| 關於作者： |
范兴亚，数学教育博士、高级教师、北京四中初高中贯通数学教师、数学竞赛教练、西城区骨干教师、西城区兼职教研员、西城区中高考模拟题核心命题组成员。
曾获得北京市育人先锋。多次获得西城区优秀教师、我心目中的好老师、北京四中优秀园丁、优秀班主任等荣誉称号。曾获全国初中教师基本功展示活动一等奖、北京市初中教师基本功大赛一等奖（第一名）。教学设计多次获得北京市基础教育优秀教学设计一等奖。
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| 目錄：
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目录
前言
第1章平面几何
勾股定理1
勾股定理2
勾股定理3
勾股定理4
勾股定理5
勾股定理6
勾股定理7
勾股定理8
勾股定理9
勾股定理的倒数形式
两个正方形和两个三角形
四个面积相等的三角形
勾股定理的推广
通过平行四边形法则推导中线长公式
维维亚尼定理1
维维亚尼定理2
希俄斯的希波克拉底定理(大约公元前440年)
“鞋匠之刀”的面积
“盐窖”的面积
圆里和半圆里的正方形
四个月牙形的面积之和等于一个正方形的面积
月牙形和正六边形
由三角形的中线构成的三角形的面积等于原三角形面积的34
三角形的等分切割与重组
内含正方形的正方形
正六边形面积的113
正八边形面积的13
普特南八角形的面积
正十二边形的面积1
正十二边形的面积2
带有锐角π12的直角三角形的面积
托勒密定理1
托勒密定理2
通过托勒密定理证明勾股定理
托勒密不等式
三角形的面积和外接圆的半径
直角三角形的面积
直角三角形的内切圆半径
一个关于直角三角形的恒等式
等腰三角形的分割
每个三角形均可以分割为6个等腰三角形
等边三角形内切圆的半径
有60°角的三角形的优美性质
范·霍腾定理
一个正方形的诞生
等腰直角三角形的优美性质
正方形内接四边形的最小周长
瓦里尼翁定理
正星形多边形的顶角度数之和
等边三角形披萨的平分问题
和为45°的角
三等分一条线段
五角星的顶角和为180°
长度相等的弦和切线段
三圆定理
一条固定的弦
第2章立体几何
三棱锥的体积
四棱台的体积
圆台的侧面积
第3章代数恒等式
乘法交换律和分配律
乘法公式1
乘法公式2
乘法公式3
乘法公式4
乘法公式5
代数恒等式
完全平方
代数面积
配成完全平方
丢番图平方和恒等式
索菲·热尔曼恒等式
第4章不等式
算术平均数与几何平均数之间的不等式1
算术平均数与几何平均数之间的不等式2
算术平均数与几何平均数之间的不等式3
算术平均数与几何平均数之间的不等式4
算术平均数与几何平均数之间的不等式5
算术平均数与几何平均数之间的不等式6(通过三角函数证明)
算术平均数、几何平均数、调和平均数之间的不等式
调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数之间的不等式
算术平均数、对数平均数、几何平均数之间的不等式
平方平均数、算术平均数、几何平均数、调和平均数之间的不等式
一组基本不等式的证明
柯西-施瓦茨不等式1
柯西-施瓦茨不等式2
柯西-施瓦茨不等式3
伯努利不等式(两种证明)
AB>BA，当e≤Aπe
平均数的规则(两种证明)
中间点性质
一个正数及其倒数的和至少为2(四种证明)
与和为1的两数相关的不等式
代数不等式1
代数不等式2
帕多阿不等式
直角三角形的不等式
第5章三角公式
两角和的正弦公式1
两角和的正弦公式2
两角和的正弦公式3
两角和的余弦公式
两角和的正弦以及两角差的余弦
两角差的余弦公式
一幅图，六个三角恒等式
二倍角公式1
二倍角公式2
二倍角公式3
半角公式
维尔斯特拉斯代换(万能公式)
推导有理函数的正弦和余弦
三倍角的正弦、余弦公式
正余函数之和
和差化积公式1
和差化积公式2
积化和差公式
余弦定理1
余弦定理2
余弦定理3(根据托勒密定理)
余弦定理4
余弦定理5
余弦定理6
csc 2x=cot x-cot 2x
一个源自韦达的恒等式
反正切函数的和
(tanθ 1)2 (cotθ 1)2=(secθ cscθ)2
摩尔魏特方程
正切乘积的和
三个正切的和与积
一个图形，五个反正切恒等式
赫顿和斯特拉尼斯基公式
函数acost bsint的极值
正弦不等式
正切不等式
正弦函数的子可加性
在[0，π]上正弦函数的子可加性
15°角和75°角的三角函数
tan 15°和tan 75°
18°角及其整倍数的三角函数
第6章数列
整数求和1
整数求和2
整数求和3
奇数求和1
奇数求和2
奇数求和3
奇数求和4
奇数求和5
奇数的交错和
平方和1
平方和2
平方和3
平方和4
平方和5
整数求和与平方求和的关系1
整数求和与平方求和的关系2
奇数的平方和
立方求和1
立方求和2
立方求和3
点的计数
连续整数的连续和
关于平方数与三角形数的求和式
正方体拼搭
连续奇数的和与立方数
斐波那契数列的平方求和
k次方可看成连续奇数的和
长方形数的求和
把立方数表示为二重求和
2的幂
二阶阶乘的和
连续整数求和表达成立方和的形式
关于奇数列的性质(伽利略，1615)
伽利略比值
平方数模3
连续立方数的差模6余1
第k个n-边形数
三角形数的和
五角形数等式
六角形数的和是一个立方和
几何级数1
几何级数2
几何级数3
交错级数1
交错级数2
交错级数3
11×2 12×3 13×4 … 1n(n 1) …=1以及它的部分和
第7章其他
点到直线的距离公式
抛物线的反射特性
单位双曲线围出的等面积区域
黄金分割数
2是无理数1
2是无理数2
辛普森悖论
柳卡问题
一个部分分式分解
最小面积问题
递归
组合恒等式
一个Calissons问题
文献索引
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| 內容試閱：
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前言
记得在北京师范大学李建华博士给研究生开设的“高观点下的初等数学”这门选修课上，我第一次接触到了“无字证明”.
一个简单的图示十分简洁地表示了代数平均、几何平均、调和平均之间的关系，如此“直观”，给人以顿悟的感觉，激动之情溢于言表.从那时，我知道在数学教学中，“慧根”尚浅的同学有了福音，那就是避开冰冷的公式推导，直接感受公式的正确，也就是“无字证明”.后来我发现这种在课堂上用“无字证明”的方法帮助学生理解数学并不是什么新鲜事.早在很多年前，特级教师张思明老师在他的《用心做教育》一书中就有一个经典案例，提到课堂上用“无字证明”帮助同学们记忆公式，体会数形结合即代数与几何之间的联系.北京四中正高级特级教师程国红老师在高三复习课上也用无字证明解释不等式.
以后的若干年，我收集阅读了大量无字证明文献.本书就是从这些文献中整理编写了近二百个中学生能够看懂的无字证明.在新课程标准的背景下，数学核心素养强调直观想象，如何培养学生直观想象能力，无字证明也许是其中的一条路径.
范兴亚
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