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| 內容簡介： |
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本书主要介绍线性代数的传统内容，包括矩阵与行列式，向量组的线性相关与向量空间，相似矩阵与二次型，以及线性代数在工程技术中的应用。本书的特点是内容简明扼要，通俗易懂。既介绍经典理论，又联系工程技术问题，特别是汽车以及机械工业的实际问题开展讨论，充分展示线性代数在上述领域的应用。
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| 目錄：
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第一章 矩阵与行列式
第一节 矩阵的概念
第二节 矩阵的运算
第三节 方阵的行列式
第四节 逆矩阵及其计算
第五节 矩阵的分块
第六节 矩阵的初等变换
第七节 矩阵的秩
习题一
第二章 向量组的线性相关与向量空间
第一节 向量组的线性表示
第二节 向量组的线性相关性
第三节 向量组的秩
第四节 向量空间
习题二
第三章 线性方程组
第一节 克拉默法则
第二节 齐次线性方程组有非零解的条件与解的结构
第三节 非齐次线性方程组有解判别定理与解的结构
习题三
第四章 相似矩阵与二次型
第一节 欧氏空间的基本概念
第二节 方阵的特征值与特征向量
第三节 相似矩阵
第四节 实对称矩阵的对角化
第五节 二次型
第六节 正定二次型
习题四
附录 Matlab介绍与应用
第一节 Matlab概述
第二节 Matlab的变量和函数
第三节 Matlab绘图
第四节 Matlab程序设计与应用
习题答案
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| 內容試閱：
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矩阵（matrix）是线性代数的一个基本概念，是使数据有序排列的数学表示．
矩阵运算是线性代数的基本内容．今天，矩阵的理论与方法已广泛应用于自然科
学、工程技术和经济领域等方面，是解决线性问题的有力工具．
第一节矩阵的概念
一、矩阵的定义
定义1由m×n个数aij（i＝1，2，.，m；j＝1，2，.，n）按一定顺序排成的
m行n列的数表（为表达它是一个整体，加一个括弧）
A＝
a11a12.a1n
a21a22.a2n
...
am1am2.amn
（1）
称为m行n列矩阵，简称m×n矩阵，一般用粗黑体英文字母A，B，C，.表示．这
m×n个数称为矩阵A的元素，简称为元，数aij位于矩阵的第i行第j列，称为矩阵
的（i，j）元．以数aij为（i，j）元的m×n矩阵可简记为（aij）m×n．m×n的矩阵A可
记为Am×n．
元素是实数的矩阵称为实矩阵，例如
20 18 28
22 34 30
是一个2×3实矩阵．
元素是复数的矩阵称为复矩阵，例如
1362i
222
i22
是一个3×3复矩阵．
本书中提到的矩阵一般指的是实矩阵．行数与列数都等于n的矩阵称为n阶
矩阵或n阶方阵．n阶方阵A可记为An，例如
A3＝
136-13
22-2
-11-321
若A，B两矩阵的行数与列数都相同，则称A，B为同型矩阵．设A＝（aij）m×n，
B＝（bij）m×n为同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即
aij＝bij （i＝1，2，.，m；j＝1，2，.，n），
则称A与B相等，记为
A＝B．
例如，矩阵
A＝
12-43
-9852
4210
，B＝
120
-132
1-24
905
分别为3×4矩阵和4×3矩阵，它们不是同型矩阵；而矩阵
A＝
15
-98
42
，B＝
35
08
-17
都是3×2矩阵，它们是同型矩阵，但不相等；而矩阵
A＝
100
010
，B＝
100
010
是相等的矩阵．
例1设矩阵A＝
12x-1
y-23
，B＝
s+11
0t，且A＝B，求x，y，s，t．
解因为A＝B，有x＝1，y-2＝0，s+1＝1，t＝3．解得x＝1，y＝2，s＝0，
t＝3．
二、常用的特殊矩阵
1．行矩阵与列矩阵
只有一行的矩阵称为行矩阵（也称行向量）：
A＝（a1，a2，.，an）．
只有一列的矩阵称为列矩阵（也称列向量）：
B＝
b1
b2
.
bn
．
2．零矩阵
所有元素都为零的矩阵称为零矩阵：
0＝
0.0
0.0
..
0.0
．
m×n零矩阵记为0m×n，简记为0，不同型的零矩阵是不相等的．
3．对角矩阵、数量矩阵和单位矩阵
n阶方阵中位于第i行第i列（i＝1，2，.，n）交叉位置上的元素称为主对角元
素，从左上角到右下角的直线称为主对角线，从右上角到左下角的直线称为反对角
线．主对角线上有非零元，主对角以外的元素全为零的矩阵称为对角矩阵．对角矩
阵可记为
Λ＝
λ10.0
0λ2.0
...
00.λn
，
有时也写成Λ＝diag（λ1，λ2，.，λn）．
当λ1＝λ2＝.＝λn时，方阵
Λ＝
λ0.0
0λ.0
...
00.λ
称为数量矩阵．特殊地，称
E＝
10.0
01.0
...
00.1
为单位矩阵，其特点是主对角线上的元素为1，其他元素为0．
三、矩阵举例
例2三个商店销售某厂生产的四种产品，其售价可列成矩阵
A＝
a11a12a13a14
a21a22a23a24
a31a32a33a34
，
其中aij表示第i店销售第j种产品的单价．
例3a，b两省各城市间的交通道路情况如图1．1所示．其中ai表示a省的第
i个城市，bj表示b省的第j个城市，连线上的数值表示交通道路数，若用aij表示a
省的第i城到b省的第j城的交通道路数，则可列成矩阵
B＝
324
010
．
图1．1
例4n个变量x1，x2，.，xn与m个变量y1，y2，.，ym之间的关系式
y1＝a11x1+a12x2+.+a1nxn，
y2＝a21x1+a22x2+.+a2nxn，
..
ym＝am1x1+am2x2+.+amnxn
（2）
称为一个从变量x1，x2，.，xn到y1，y2，.，ym的线性变换，其中aij为常数．线性变
换（2）的系数构成矩阵
A＝
a11a12.a1n
a21a22.a2n
...
am1am2.amn
．
A称为线性变换（2）的系数矩阵．显然，给定了线性变换（2），就确定了系数矩阵A．
反之，给定矩阵A，就给出了由它作为系数矩阵的线性变换．因此，线性变换与矩阵
之间存在一一对应关系．
在线性变换中，有一种特殊的变换，其形式为
y1＝λ1x1，
y2＝λ2x2，
..
yn＝λnxn，
可以称为伸缩变换，其对应的矩阵为对角矩阵
λ1
λ2
筹
λn
．
特别地，当λi＝1（i＝1，2，.，n）时为恒等变换，对应的矩阵为单位矩阵．
常见的线性变换还有投影变换和旋转变换．例如
x1＝x，
y1＝y，
z1＝0
就是从三维空间到平面上的一个投影变换（图1．2），对应的矩阵为
100
010
000
．
图1．2
图1．3
又如，矩阵
cosφ-sinφ
sinφcosφ
对应的线性变换
x1＝xcosφ-ysinφ，
y1＝xsinφ+ycosφ
是xOy平面上的一个旋转变换，旋转角为φ（图1．3）．事实上，令x＝rcosθ，y＝rsinθ，
可得
6x1＝rcosθcosφ-rsinθsinφ＝rcos（θ+φ），
y1＝rcosθsinφ+rsinθcosφ＝rsin（θ+φ）．
由此可见，该变换为xOy平面上的一个旋转角为φ的逆时针方向的旋转变换．
第二节矩阵的运算
一、矩阵的加法
定义1设矩阵A＝（aij）m×n，B＝（bij）m×n，称矩阵（aij+bij）m×n为矩阵A与
B之和，记为A+B．即
A+B＝
a11+b11.a1n+b1n
..
am1+bm1.amn+bmn
注意只有当A与B为同型矩阵时才能相加．例如
13-5
1-90
364
+
187
654
-121
＝
1+13+8-5+7
1+6-9+50+4
3-16+24+1
＝
2112
7-44
285
．
不难验证矩阵加法满足如下运算规律（设A，B，C都是同型矩阵）：
（1）交换律A+B＝B+A．
（2）结合律（A+B）+C＝A+（B+C）．
二、数与矩阵相乘
定义2设λ为常数，矩阵A＝（aij）m×n，称矩阵（λaij）m×n为数λ与矩阵A的乘
积，记为λA．即
λA＝
λa11.λa1n
..
λam1.λamn
．（1）
简称为数乘矩阵．
数乘矩阵满足如下运算规律（此处A，B为同型矩阵；λ，μ为实数）：
（1）结合律（λμ）A＝λ（μA）＝μ（λA）．
（2）分配律λ（A+B）＝λA+λB；（λ+μ）A＝λA+μA．
设矩阵A＝（aij）m×n，记
-A＝（-1）?A＝
-a11-a12.-a1n
-a21-a22.-a2n
...
-am1-am2.-amn
＝（-aij）m×n，
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