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| 編輯推薦： |
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刘合香编著的《模糊数学理论及其应用》叙述简明但不蜻蜓点水，重视基础但不陷人纷繁的定理推导，强调学科交叉及应用但决不敷衍拼凑。比如，注重利用模糊数学和优化理论相结合得到组合权重；注重基于因素空间理论、二维正态扩散技术和模糊近似推理方法，计算超越概率估计值等。
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| 內容簡介： |
《模糊数学理论及其应用》系统介绍了模糊数学的基本理论和基本方法，着重介绍基于模糊理论的数学建模方法，并给出了具体的应用实例。 基本理论涉及模糊集的基本概念、模糊集的基本定理、模糊关系和模糊矩阵、模糊图等。 建模方法包括模糊聚类分析、模糊模型识别、模糊决策、模糊线性规划、模糊推理与模糊控制等。
《模糊数学理论及其应用》可作为高校数学专业的高年级本科生和研究生的专业课教材，也可供数学建模、灾害风险分析、教育信息化综合评价、金融工程方面的科研人员参考。
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| 目錄：
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前言
第1章 模糊集的基本概念
1.1 经典集合及特征函数
1.2 模糊集合与隶属函数
1.3 模糊集的运算及其性质
1.4 应用实例
习题1
第2章 模糊集的基本定理
2.1 λ-截集
2.2 分解定理
2.3 扩张原理
2.4 模糊数
2.5 区间数
2.6 可信度
2.7 应用实例
习题2
第3章 模糊关系与模糊矩阵
3.1 模糊关系的定义和性质
3.2 模糊关系的合成
3.3 模糊矩阵与λ截矩阵
3.4 模糊图
3.5 应用实例
习题3
第4章 模糊聚类分析
4.1 模糊聚类分析的步骤
4.2 基于模糊关系的聚类分析
4.3 基于模糊划分的聚类分析
4.4 基于最优的聚类分析
4.5 应用实例
习题4
第5章 模糊模式识别
5.1 模糊集的贴近度
5.2 模糊模式识别的基本原则
5.3 几何图形的识别
5.4 应用实例
习题5
第6章 模糊预测与模糊决策
6.1 模糊时间序列预测
6.2 模糊回归预测
6.3 模糊映射与模糊变换
6.4 权重的确定
6.5 因素空间与模糊决策
6.6 应用实例
习题6
第7章 模糊线性规划
7.1 经典线性规划模型
7.2 模糊环境下的条件极值
7.3 模糊线性规划
7.4 多目标模糊规划
7.5 模糊动态规划
7.6 应用实例
习题7
第8章 模糊推理与模糊控制
8.1 模糊逻辑与模糊语言的定义
8.2 模糊推理的性质
8.3 模糊推理模型
8.4 模糊控制的概念
8.5 模糊控制基本原理
8.6 模糊控制模型
8.7 应用实例
习题8
部分习题参考答案
参考文献
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| 內容試閱：
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第1 章 模糊集的基本概念
19 世纪末，德国数学家G.Cantor 首创集合论。随后，该理论迅速渗透到各个数学分
支，对模糊数学基础的奠定做出了重大贡献。1965 年，美国计算与控制论专家L.A.Zadeh
第一次提出了模糊集概念，对Cantor 集合理论做了有益的推广，并受到广泛重视。迄今，模
糊集已形成一个较为完善的数学分支，并在很多领域中获得了应用。特别是以模糊推理为
核心的人工智能技术，在许多领域取得了明显的成果和经济效益。
模糊集合（又称模糊集）是模糊数学的基础，模糊数学则是研究和处理模糊性现象的数
学方法。本章着重介绍模糊集的基本概念、运算法则和简单的应用。
1.1 经典集合及特征函数
1.1.1 经典集合
1.集合及其表示
集合是现代数学的一个基本概念，一些不同对象的全体称为集合，简称为集，常用大写
英文字母A ，B ，C ，… 表示。在这里，集合也称为经典集合，这是为了区别于模糊集合。集合
内的每个对象称为集合的元素，常用小写英文字母a ，b ，c ，… 表示。元素与集合之间具有从
属的关系，“ a 属于A”记为a ∈ A ，“ a 不属于A”记为a 臭A.
我们把不含任何元素的集合称为空集，记为?。
只含有有限个元素的集合，称为有限集，有限集所含元素的个数称为集合的基数。包含
无限个元素的集合称为无限集。以集合作为元素所组成的集合称为集合族。所谓论域是指
所论及对象的全体，它也是一个集合，也称为全集，常用大写英文字母X ，Y ，U ，V ，… 表示。
集合的表示法主要有两种：
（1）列举法 例如，由20 以内的质数组成的集合可表示为
A ＝ ｛2 ，3 ，5 ，7 ，11 ，13 ，17 ，19｝ ，
自然数集可表示为
N ＝ ｛0 ，1 ，2 ，3 ，… ｝.
（2）描述法 使P（ x）成立的一切x 组成的集合可表示为｛ x P（ x）｝.如实数集可表示
为｛ x - ￥ ＜ x ＜ + ￥｝ ，简记为R ；B ＝ ｛ x x2 - 1 ＝ 0 ，x ∈ R ｝实际上是由元素- 1 和1 组成
的集合。
经典集合具有两条最基本的属性：集合中元素的互异性，即元素彼此相异，范围边界分
明；集合中元素的确定性，也就是说，一个元素x 与集合A 的关系是，要么x ∈ A ，要么x 臭
A ，二者必居其一。
2.集合的包含
集合的包含概念是集合之间的一种重要关系。
定义1.1.1 设有集合A 和B ，若集合A 的每个元素都属于集合B ，即x ∈ A 痴x ∈ B ，
则称A 是B 的子集，记为A 彻B 或B 澈A ，读作“ A 包含于B 中”或“ B 包含A”.
显然A 彻A.空集?是任何集合A 的子集，即?彻A.若A 彻B ，B 彻C ，则A 彻C.
定义1.1.2 设集合A 和B ，若A 彻B 且B 彻A ，则称集合A 与集合B 相等，记为A ＝
B.
定义1.1.3 设集合U ，对于任意集合A ，总有A 彻U ，则称U 为全集。
全集是一个具有相对性的概念。例如，实数集对于整数集、有理数集而言是全集，而整
数集对于偶数集、奇数集而言是全集。
定义1.1.4 设有集合A ，A 的所有子集组成的集合称为A 的幂集，记为P（ A ） ，即
P（ A） ＝ ｛ B B 彻A｝.
例1.1.1 设A ＝ ｛ a ，b ，c｝ ，则P（ A） ＝ ｛ ?，｛ a｝ ，｛ b｝ ，｛ c｝ ，｛ a ，b｝ ，｛ a ，c｝ ，｛ b ，c｝ ，｛ a ，b ，
c｝｝.
3.集合的运算
定义1.1.5 设A ，B ∈ P（U） ，U 是论域，规定：
A ∪ B ＝Δ ｛ x x ∈ A 或x ∈ B｝ ，称为A 与B 的并集；
A ∩ B ＝Δ ｛ x x ∈ A 且x ∈ B｝ ，称为A 与B 的交集；
A C ＝Δ ｛ x x ∈ U 且x 臭A｝ ，称为A 的余集。
以上各式中的符号“ ＝Δ ”表示“被定义为”.
4.集合运算（并、交、余）的性质
定理1.1.1 设A ，B ，C ∈ P（U） ，U 是论域，则有
（1）幂等律 A ∪ A ＝ A ，A ∩ A ＝ A ；
（2）交换律 A ∪ B ＝ B ∪ A ，A ∩ B ＝ B ∩ A ；
（3）结合律 （ A ∪ B） ∪ C ＝ A ∪ （ B ∪ C） ，（ A ∩ B） ∩ C ＝ A ∩ （ B ∩ C） ；
（4）吸收律 A ∪ （ A ∩ B） ＝ A ，A ∩ （ A ∪ B） ＝ A ；
（5）分配律 （ A ∪ B） ∩ C ＝ （ A ∩ C） ∪ （ B ∩ C） ，
（ A ∩ B） ∪ C ＝ （ A ∪ C） ∩ （ B ∪ C） ；
（6）0 唱1 律 A ∪ U ＝ U ，A ∩ U ＝ A ，A ∪ ?＝ A ，A ∩ ?＝ ?；
（7）还原律 （ A C ）C ＝ A ；
（8）对偶律 （ A ∪ B）C ＝ A C ∩ BC ，（ A ∩ B）C ＝ A C ∪ BC ；
（9）排中律 A ∪ A C ＝ U ，A ∩ A C ＝ ?。
这些性质均可由并、交、余的定义直接推出。上述两个集合的并、交运算可推广到任意
多个集合的并、交运算。
5.集合的直积
在日常生活中，许多事物是成对出现的，且具有一定的顺序，例如上、下，左、右，平面上
点的坐标等。任意两个元素x 与y 配成一个有序的对（ x ，y） ，称为x 与y 的序对。有序是指
x ≠ y 时，（ x ，y） ≠ （ y ，x） ，（ x ，y） ＝ （ x′ ，y′） 骋x ＝ x′ ，y ＝ y′.
定义1.1.6 设X ，Y 是两个集合，由X 的元素与Y 的元素配成的全体序对组成一个
集合，称为X 与Y 的直积［或笛卡尔积（Descartes）积］ ，记作X × Y ，即X × Y ＝ ｛（ x ，y）
x ∈ X ，y ∈ Y｝.
例1.1.2 设X ＝ ｛1 ，2｝ ，Y ＝ ｛0 ，2｝ ，则
X × Y ＝ ｛（1 ，0） ，（1 ，2） ，（2 ，0） ，（2 ，2）｝ ，Y × X ＝ ｛（0 ，1） ，（0 ，2） ，（2 ，1） ，（2 ，2）｝.
一般地，X × Y ≠ Y × X.
1.1.2 映射
定义1.1.7 设X 与Y 是两个非空集，若存在一个对应规则f ，使得对于任一元素x
∈ X ，有唯一元素y ∈ Y 与之对应，则称f 是从X 到Y 的映射，记为
f ：X → Y ，
xa f （ x） ＝ y ∈ Y.
y 称为x 在映射f 下的像，x 称为原像。
集X 称为映射f 的定义域，记为D（ f ）.集f （ X ） ＝ ｛ f （ x） x ∈ X ｝称为映射f 的值
域，记为R（ f ）.一般地，f （ X） 彻Y.若f （ X） ＝ Y ，则称f 是从X 到Y 上的映射或从X 到Y
的满映射。
映射的概念是函数概念的推广。微积分中定义在区间［ a ，b］ 彻R 上的一元函数f （ x） ，
就是从［ a ，b］到R 的映射，即f ：［ a ，b］ → R ，x a f （ x） ＝ y.
定义1.1.8 如果映射f ：X → Y ，橙x1 ，x2 ∈ X ，满足x1 ≠ x2 痴f （ x1 ） ≠ f （ x2 ） ，则称f
是从X 到Y 是1 唱1 的映射。如果f ：X → Y 是1 唱1 的满映射，则称f 为从X 到Y 的1 唱1
对应。
例1.1.3 设映射f ：R → R ，f （ x） ＝ sin x ，则f 不是R 到R 的满映射，而是R 到区间［ -
1 ，1］的满射；设C［ a ，b］是定义在［ a ，b］上的实连续函数集。定义C［ a ，b］到R 上的一个映射
f ：φ（ x） → ∫b
a
φ（ x）d（ x） ，φ（ x） ∈ C［ a ，b］
这是一个满映射，但不是1 唱1 映射；设X ＝ ｛ a ，b ，c ，d｝ ，Y ＝ ｛1 ，2 ，3 ，4｝ ，f 是从X 到Y
的映射，f ＝ ｛（ a ，1） ，（ b ，3） ，（ c ，4） ，（ d ，2）｝ ，则f 是满映射，又是1 唱1 映射，所以f 是1 唱1 对
应。
图1唱1
1.1.3 特征函数
定义1.1.9 设A ∈ P（U） ，U 是论域，具有如下性质的映射
χ A ：U → ｛0 ，1｝ ，
xaχ A （ x） ＝
1 ，x ∈ A ，
0 ，x 臭A ；
χ A （ x）称为集合A 的特征函数（如图1 唱1）.
由定义1.1.9 可知，集合A 由特征函数χ A （ x）唯一确定。例如，论域U 为实数集，则集
合A ＝ ｛ x x ≤ 1｝的特征函数如图1 唱2 所示，为
χ A （ x） ＝
1 ， x ≤ 1 ，
0 ， x ＞ 1.
由此看出，特征函数与集合是互相决定的，是对一个事物从不同角度给出的描述。下面
是特征函数与集合之间的几个基本关系：
（1） A ＝ U 骋χ A （ x） ＝ 1 ，A ＝ ?骋χ A （ x） ＝ 0 ；
（2） A 彻B ∈ P（U） 骋χ A （ x） ≤ χB （ x） ；
（3） A ＝ B ∈ P（U） 骋χ A （ x） ＝ χB （ x）.
基本关系（3）表明，U 的任一子集A 完全由它的特征函数
确定。
特征函数还具有下列运算性质：
χ A ∪ B （ x） ＝ χ A （ x） ∨ χ B （ x） ，
χ A ∩ B （ x） ＝ χ A （ x） ∧ χ B （ x） ，
χ A C （ x） ＝ 1 - χ A （ x）.
此处“ ∨ ” 、“ ∧ ”分别是取大、取小运算，即
a ∨ b ＝ max（ a ，b） ，a ∧ b ＝ min（ a ，b）.
上述性质表明，应用特征函数同样可以方便地讨论集合间的关系和运算。
设χ1 ，χ2 和χ 都是论域U 上的特征函数，则
（1）若橙x ∈ U ，都有χ1 （ x） ≤ χ2 （ x） ，则记χ1 ≤ χ2 ；
（2）若χ1 ≤ χ2 ，且χ2 ≤ χ1 ，则记χ1 ＝ χ2 ；
（3）若橙x ∈ U ，都有χ（ x） ＝ χ1 （ x） ∨ χ2 （ x） ，则记χ ＝ χ1 ∨ χ2 ；
（4）若橙x ∈ U ，都有χ（ x） ＝ χ1 （ x） ∧ χ2 （ x） ，则记χ ＝ χ1 ∧ χ2 ；
（5）若橙x ∈ U ，都有χ2 （ x） ＝ 1 - χ1 （ x） ，则记χ2 ＝ ?χ1.
显然，χ1 ＝ χ2 当且仅当橙x ∈ U ，χ1 （ x） ＝ χ2 （ x）.
定理1.1.2 若U ≠ ?，则U 的幂集P（U）与U 的全体特征函数集CH（ U）之间，存在
1 唱1 的满射。
今后，对橙A ∈ P（U）总用χ A 表示A 的特征函数。特别地，用1 和0 分别表示U 和?的
特征函数，如，1（ x） ≡ 1 ，橙x ∈ U ；0（ x） ≡ 0 ，橙x ∈ U.
定理1.1.3 若A ，B ∈ P（U） ，则χ A ∨ χB ，χ A ∧ χ B ，?χ A 分别是A ∪ B ，A ∪ B ，A C 的特
征函数。
1.2 模糊集合与隶属函数
在数学上，概念的外延可以通过“集合”来表达。然而日常生活中涉及的众多的概念常
含有内涵的“模糊性” ，这必然导致外延的“不清晰性”.例如，对于“高个子男人”这个概念，
如果说1.80 m 以上的男人都算高个子，那么1.79 m 仅1 cm 之差，肉眼是很难辨别的。因
此，“高个子男人”的外延不应有清晰的边界。然而“经典集合”必定是“清晰的” ，即对集合A
和某具体对象a ，a ∈ A 与a 臭A 仅有一个成立。这说明不能用经典集合去刻画模糊概念的
外延，从而Zadeh 提出了模糊集合的概念。
设U 是论域，所谓U 上的模糊集合?A ，是指对橙x ∈ U ，x 常以某个程度μ（ μ ∈ ［0 ，1］）
属于?A ，而非x ∈ ?A 或x 臭?A.例如，若确定1.80 m 以上的男人都是“高个子”（即以1 ＝
100 % 的程度属于“高个子”） ，而1.79 m 的男人则可以略低于1（例如0.99 即99 % ）的程度
属于“高个子”.
若U 是论域，则P（U）与CH（U）一一对应，且P（U）与CH（U）中的元素A 与χ?A 可不
加区分，P（U）与CH（U）中的运算： ∪ 与∨ ， ∩ 与∧ ，? C 与?-
也可以不加区分。据此，Zadeh
引入了隶属函数，并让U 上的隶属函数全体与U 上的模糊集合全体一一对应，以此建立模
糊集合概念。
设U 是论域，μ ：U → ［0 ，1］ ，称μ 是U 上的隶属函数，记U 上隶属函数的全体为SH（U）.
又记U 上模糊集合的全体为F（U） ，令SH（U）与F（U）一一对应。于是，对橙μ ∈ SH（U） ，有唯
一U 上的模糊集合?A ∈ F（U）与之对应。记此μ 为μ ?A ，称μ ?A 为?A 的隶属函数；对橙x ∈ U ，
称μ ?A 为x 对?A 的隶属度。
例1.2.1 ｛0 ，1｝ 彻［0 ，1］ ，而经典集A 的特征函数χ A ：U → ｛0 ，1｝ ，故χ A 也是隶属函
数，从而经典集A 也可视为模糊集合。也就是说，经典集A 与特征函数χ A 分别是模糊集合
与隶属函数的特例；而模糊集合?A 与隶属函数μ ?A 分别是经典集与特征函数的推广。
1.2.1 模糊集合的表示方法
论域U ＝ ｛ x1 ，x2 ，… ，xn ｝是有限集，U 上的任一模糊集合?A ，其隶属函数为｛ ?A （ x i ）｝（ i
＝ 1 ，2 ，… ，n）.
（1）扎德表示法：
?A ＝ ?A （ x1 ）
x1
+ ?A （ x2 ）
x2
+ … + ?A （ xn ）
x n
。
这里
?A （ x i ）
x i
不是分数； + 也不表示求和，只有符号意义，它表示点x i 对模糊集合?A 的隶属
度是?A （ xi ）.
（2）序偶表示法：
?A ＝ ｛（ x1 ，?A （ x1 ）） ，（ x2 ，?A （ x2 ）） ，… ，（ xn ，?A （ xn ））｝.
（3）向量表示法：
?A ＝ （ ?A （ x1 ） ，?A （ x2 ） ，… ，?A （ xn ））.
一般地，若0 ≤ ai ≤ 1 ，i ＝ 1 ，2 ，… ，n ，则称a ＝ （ a1 ，a2 ，… ，an ）为模糊向量。由此可知，模
糊向量a ＝ （ a1 ，a2 ，… ，an ）可以表示论域U ＝ ｛ x1 ，x2 ，… ，xn ｝上的模糊集?A.
例1.2.2 ?A ＝ “高个子”可表示为
?A ＝ 0
x1
+ 0.1
x2
+ 0.4
x3
+ 0.5
x4
+ 0.8
x5
+ 1
x6
，
或者
?A ＝ （0 ，0.1 ，0.4 ，0.5 ，0.8 ，1）.
又如，论域U ＝ ｛ x1 ，x2 ，… ，xn ｝表示n 个企业，若以ai 记企业x i 的生产成本中劳动力
所占比重，则?A ＝ （ a1 ，a2 ，… ，an ）就是表示劳动密集型企业的模糊集合。
注意 经典集合也可用扎德方法表示，例如，论域U ＝ ｛ x1 ，x2 ，… ，xn ｝可表示为
U ＝ 1
x1
+ 1
x2
+ … + 1
xn
。
这表明x1 ，x2 ，… ，x n 绝对地属于U ，即x i （ i ＝ 1 ，2 ，… ，n）对U 的隶属度为1.
论域U 是无限集时，U 上的模糊集?A 表示为
?A ＝ ∫x ∈ U
?A （ x）
x ，
这里∫ 不是积分符号，?A （ x）
x 也不是分数。
例1.2.3 令U ＝ ｛ a ，b ，c ，d｝或等价地写为U ＝ a + b + c + d.在这种情况下，U 的模糊
子集?A 可以明确地表达为?A ＝ 0.3 a + b + 0.9 c + 0.5 d.
另一方面，若U ＝ 1 + 2 + … + 100 ，则写为?A ＝ 0.325 + 0.93 ，以免混淆。
例1.2.4 在由整数1 ，2 ，… ，10 组成的论域U ＝ 1 + 2 + … + 100 中，“几个”这一模糊
子集可以定义为
“几个” ＝ 0.53 + 0.84 + 15 + 16 + 0.87 + 0.58.
例1.2.5 若U ＝ a + b + c + d 并且
?A ＝ 0.5 a + 0.8 b + 0.3 d ，?B ＝ 0.7 a + b + 0.3 c + d ，
则?A 彻?B.
1.2.2 隶属函数的确定
前面曾经指出过，隶属程度的思想是模糊数学的基本思想。元素属于模糊集合的隶属
度是主观臆造的，还是客观存在的，这是本节首要讨论的一个问题。应用模糊数学方法的关
键在于建立符合实际的隶属函数，然而，这是至今尚未完全解决的问题。我国学者汪培庄教
授提出的随机集落影理论，对于相当一部分模糊集合的隶属函数的客观实在性给出了满意
的解释，基于这一理论的模糊统计方法是确定一类模糊集合的隶属度的有效方法。为了使
读者便于操作，本节主要介绍确定隶属度与隶属函数所常用的方法。
一、隶属度的客观存在性
对于隶属度的确定有不同的观点与处理方法。为了说明隶属度的客观存在性，先介绍
模糊统计试验。
1.模糊统计实验
所谓模糊统计试验包含四个要素：
（1）论域U ；
（2）U 中的一个固定元素u0 ；
（3）U 中的一个随机运动集合A 倡（经典集合） ；
（4）U 中的一个以A 倡作为弹性边界的模糊子集?A ，制约着A 倡的运动。A 倡可以覆盖
u0 ，也可以不覆盖u0 ，因而u0 对?A 的隶属关系不确定。
模糊统计试验特点是：在各次试验中，u0 是固定的，而A 倡在随机变动。
2.隶属度的客观存在性
在模糊统计试验中，u0 是固定的，A 倡是变动的，A 倡是对?A 的一次近似。A 倡可以覆盖
住u0 ，也可以不覆盖住u0 ，这就使得u0 对A 的隶属关系是不确定的。这种不确定性，正是
由于?A 的模糊性产生的。
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