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| 編輯推薦： |
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《线性代数同步学习辅导》的编写参考最新的全国硕士研究生入学考试大纲，涵盖历年全国硕士研究生入学试题，例题、习题数量多且题型丰富。《线性代数同步学习辅导》可作为高等学校非数学专业学生学习线性代数课程的辅导教材，也可作为考研复习用书或教师教学参考书。
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| 內容簡介： |
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《线性代数同步学习辅导》是河南省“十二五”普通高等教育规划教材《线性代数（第二版）》（曹殿立主编）的配套学习辅导教材，内容依照主教材的章节顺序依次编排，按章编写。各章内容包括知识总览、典型例题、习题详解、分层次测试题及分层次测试题解答共五个部分。《线性代数同步学习辅导》在第一版的基础上，吸取了广大读者的意见，修订了部分题目的解法，增加了2013年和2014年全国硕士研究生入学统一考试线性代数试题。《线性代数同步学习辅导》注重课程内容的系统归纳与总结，突出典型例题的示范讲解。为便于读者的学习，给出教材全部习题及分层次测试题的详尽解答。在例题和习题的解答中，注重思路分析和方法归纳，并且对于部分题目给出多种解法。《线性代数同步学习辅导》的编写参考最新的全国硕士研究生入学考试大纲，涵盖历年全国硕士研究生入学试题，例题、习题数量多且题型丰富。《线性代数同步学习辅导》可作为高等学校非数学专业学生学习线性代数课程的辅导教材，也可作为考研复习用书或教师教学参考书。
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| 目錄：
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丛书序
第二版前言
第一版前言
第1章行列式
知识总览
一、学习重点
二、知识体系
三、内容提要
典型例题
一、行列式的概念
二、余子式和代数余子式
三、行列式的计算
四、克拉默法则
习题详解
第1章分层次测试题
第1章分层次测试题解答
第2章矩阵及其运算
知识总览
一、学习重点
二、知识体系
三、内容提要
典型例题
一、矩阵的基本运算
二、矩阵的方幂
三、逆方阵
四、方阵的行列式
五、分块矩阵
习题详解
第2章分层次测试题
第2章分层次测试题解答
第3章矩阵的初等变换
知识总览
一、学习重点
二、知识体系
三、内容提要
典型例题
一、初等变换与初等矩阵
二、用初等变换求逆矩阵
三、矩阵的秩
习题详解
第3章分层次测试题
第3章分层次测试题解答
第4章线性方程组
知识总览
一、学习重点
二、知识体系
三、内容提要
典型例题
一、线性方程组解的判定
二、向量组的线性相关性
三、向量组的秩
四、极大线性无关组
五、齐次线性方程组的基础解系
六、齐次线性方程组的通解
七、非齐次线性方程组的通解
八、方程组的公共解
九、用方程组理论讨论向量的线性表示问题
十、用方程组理论讨论矩阵的秩
十一、向量空间
习题详解
第4章分层次测试题
第4章分层次测试题解答
第5章矩阵的相似变换
知识总览
一、学习重点
二、知识体系
三、内容提要
典型例题
一、求矩阵的特征值与特征向量
二、特征值与特征向量的证明题
三、求特征值与特征向量的逆问题
四、相似矩阵的基本概念
五、矩阵可相似对角化的判定
六、矩阵的相似对角化
七、运用相似对角化求解问题
习题详解
第5章分层次测试题
第5章分层次测试题解答
第6章二次型
知识总览
一、学习重点
二、知识体系
三、内容提要
典型例题
一、向量的概念与运算
二、向量组的正交化
三、正交矩阵
四、实对称矩阵
五、二次型的概念
六、合同矩阵
七、化二次型为标准形
八、正定二次型与正定矩阵
习题详解
第6章分层次测试题
第6章分层次测试题解答
参考文献
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| 內容試閱：
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第1章行列式
一、学习重点
1行列式的定义；
2行列式的性质；
3行列式按行（列）展开的法则；
4综合运用行列式的定义、性质以及按行（列）展开的法则计算行列式；
5应用克拉默法则求解线性方程组。
二、知识体系
1结构
行列式行列式的定义
特殊行列式（对角和三角行列式）
行列式的性质（转置、行（列）交换、数乘、消元）
行列式按行（列）展开的法则行列式的计算
行列式的计算
行列式的应用——克拉默法则
2脉络行列式的定义行列式的性质行列式按行（列）展开的法则克拉默法则
三、内容提要
（一）行列式的定义
1排列的逆序与奇偶性定义1.1在一个n级排列i1i2 in中，若一个较大的数排在一个较小数的前面，则这两个数构成一个逆序。一个排列中逆序的总数，称为这个排列的逆序数，记为τ（i1i2 in）。
逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。
定义1.2一个排列中的某两个数i，j位置对调，而其余数不动，这样得到一个新排列的实施过程称为一次对换，用（i，j）表示。相邻两个数的对换称为邻换。
定理1.1一次对换改变排列的奇偶性。
推论1.1奇排列变成自然排列的对换次数为奇数，偶排列变成自然排列的对换次数为偶数。推论1.2n个自然数（n≥2）共有n!个n级排列，其中奇排列和偶排列各占一半。
2n阶行列式的定义
定义1.3n2个数aij（i=1，2， ，n;j=1，2， ，n）排成n行n列，称记号
为n阶行列式。它的展开式是n!个项的代数和。这些项是一切可能取自于D的不同行与不同列的n个元素的乘积a1i1a2i2 anin。项a1i1a2i2 anin的符号为（－1）τ（i1i2 in），当i1i2 in为奇排列时，该项符号为负;当i1i2 in为偶排列时，符号为正，即D=∑i1i2 in（－1）τ（i1i2 in）a1i1a2i2 anin，
其中∑i1i2 in表示对所有n级排列求和。n阶行列式的定义还有以下两种形式。
若行列式每项的列下标按自然顺序排列，则D=∑j1j2 jn（－1）τ（j1j2 jn）aj11aj22 ajnn.
若行列式的行、列下标按任意次序排列，则D=∑（－1）τ（i1i2 in）+τ（j1j2 jn）ai1j1ai2j2 ainjn.
3对角行列式和三角行列式（1）对角行列式
（2）三角行列式
（二）行列式的性质
性质1.1行列式与它的转置行列式的值相等。
性质1.2交换行列式的两行（或两列），行列式的值只改变一个正负号。
推论1.3如果行列式中有两行（列）完全相同，则行列式的值为零。
性质1.3用数k乘以行列式，等于数k乘以行列式中某一行（列）的所有元素。换言之，如果行列式某一行（列）的元素有公因子k，则可将k提到行列式记号外相乘。
推论1.4如果行列式中某一行（列）元素全为零，则该行列式的值为零。
推论1.5如果行列式中有两行（列）的对应元素成比例，则该行列式的值为零。 性质1.4如果行列式中的某一行（列）元素都是两数之和，则这个行列式可以化为两个行列式的和。
性质1.5将行列式中的某一行（列）的所有元素乘以数k后，加到另一行（列）对应位置的元素上，行列式的值不变。
（三）行列式按行（列）展开
定义1.4在n（n1）阶行列式D中任意取定k行和k列，位于这些行列交叉处的元素所构成的k阶行列式称为行列式D的一个k阶子式.
定义1.5在n阶行列式D中，划去元素aij所在的第i行及第j列元素，余下的元素按原排列次序构成的n－1阶行列式，称为元素aij的余子式，记为Mij，而称Aij=（－1）i+jMij为aij的代数余子式.
定理1.2行列式等于其任一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和，即D=ai1Ai1+ai2Ai2+ +ainAin=∑nt=1aitAit（i=1，2， ，n），D=a1jA1j+a2jA2j+ +anjAnj=∑nt=1atjAtj（j=1，2， ，n）.
推论1.6行列式某一行（列）的元素与另外一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零，即
或ai1Aj1+ai2Aj2+ +ainAjn=0（i≠j）
a1sA1t+a2sA2t+ +ansAnt=0（s≠t）.
（四）克拉默法则定理
1.5（克拉默法则）如果线性方程组
a11x1+a12x2+ +a1nxn=b1，
a21x1+a22x2+ +a2nxn=b2，
an1x1+an2x2+ +annxn=bn
的系数行列式D=a11a12 a1n
a21a22 a2n
an1an2 ann≠0，
则该方程组有唯一解x1=D1D，x2=D2D， ，xn=DnD，
其中，Dj是把系数行列式D的第j列换为方程组的常数项b1，b2， ，bn所得到的n阶行列式（j=1，2，3， ，n）.
典型例题
一、行列式的概念例1问a23a14a32a41以及a22a34a13a21是不是四阶行列式D=|aij|中的项？若是，指出该项所带的符号。
解 根据行列式的定义，四阶行列式的每一项都是由行列式中的4个元素的乘积构成，并且这4个元素必须位于行列式的不同行和不同列。
对于a23a14a32a41，首先这4个元素都是四阶行列式D=|aij|的元素；其次其行下标是2，1，3，4，没有重复数字，说明这4个元素位于不同的行；其列下标是3，4，2，1，也没有重复数字，即这4个元素位于不同的列。因此a23a14a32a41是四阶行列式D=|aij|中的项。
分别计算a23a14a32a41的行下标的逆序数和列下标的逆序数并求和，得τ（2134）+τ（3421）=1+5=6，即行、列下标的逆序数之和为偶数，所以该项的符号为正。 而对于a22a34a13a21，因为其行下标是2，3，1，2，有重复数字2，即a22和a21同在行列式的第2行，所以a22a34a13a21不是四阶行列式D=aij中的项。
例2确定i，j的值，使a4ia31a2ja64a56a15是六阶行列式中的一项，且符号为负。解六阶行列式的项是行列式的6个不同行不同列的元素的乘积。考虑a4ia31a2ja64a56a15的列下标.由于i，1，j，4，6，5应是1至6这六个自然数的无重复数字的某个排列，故i=2，j=3或者i=3，j=2.当i=2，j=3时，分别计算a42a31a23a64a56a15的行、列下标的逆序数并求和，得
τ（432651）+τ（213465）=9+2=11，
即行、列下标的逆序数之和为奇数，所以a42a31a23a64a56a15的符号为负.故i=2，j=3.
例3一个n阶行列式中等于零的元素的个数如果多于n2－n个，则此行列式的值等于零。为什么?解n阶行列式共有n2个元素。若零元素的个数大于n2－n，那么非零的元素个数就小于n2－（n2－n）=n个。根据行列式的定义，n阶行列式的每一项都是n个元素的乘积，因而该行列式的每一项都等于零。故该行列式等于零。
例4设f（x）=x－a11－a12－a13－a14
－a21x－a22－a23－a24
－a31－a32x－a33－a34
－a41－a42－a43x－a44，求（1）x4的系数；（2）x3的系数；（3）常数项。解 （1）由行列式定义可知，f（x）中含x4的项只能由行列式主对角线上的4个含x的一次因式的乘积（x－a11）（x－a22）（x－a33）（x－a44）得到，可见x4的系数为1；
（2）同理，f（x）中含x3的项也只能由行列式主对角线上的4个含x的一次因式得到，与（1）不同的是，x3的项是由其中的3个因式与另外一个因式中的常数项的乘积而得到的，即－a11x－a22x－a33x－a44+x－a11－a22x－a33x－a44
+x－a11x－a22－a33x－a44+x－a11x－a22x－a33－a44，
可见x3的系数为－a11+a22+a33+a44.
（3）f（x）是x的一元四次多项式，f（x）的常数项即为x=0时f（x）的值：
f（0）=－a11－a12－a13－a14
－a21－a22－a23－a24
－a31－a32－a33－a34
－a41－a42－a43－a44=a11a12a13a14
a21a22a23a24
a31a32a33a34
a41a42a43a44.
二、余子式和代数余子式例5已知D=1012－11031110－1254，求（1）－A31+2A32+5A33+4A34；（2）A12－A22+A32－A42
.解（1）可以求出每一个代数余子式，再作运算，但这样很烦琐。由于A31，A32，A33，A34分别是D的第3行元素a31，a32，a33，a34的代数余子式。
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