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| 編輯推薦： |
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本书介绍了随机延迟微分方程及其数值解，深入分析了方程及其算法的稳定性质.书中涉及的算法包括BEM算法和随机算法，研究中借助构造的衰减因子使得结果可以涵盖带无界变动延迟的系统.全书结论都是建立在高度非线性的假设条件下的，而非使用传统的线性增长条件.本书可作为数学专业高年级本科生及概率论与数理统计专业研究生的选修课程的教材，也可供科技工作者和教师参考.
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| 內容簡介： |
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本书介绍了随机延迟微分方程及其数值解，深入分析了方程及其算法的稳定性质.书中涉及的算法包括BEM算法和随机算法，研究中借助构造的衰减因子使得结果可以涵盖带无界变动延迟的系统，这是本书的一大特色.全书结论都是建立在高度非线性的假设条件下的，而非使用传统的线性增长条件，这是本书的另一大特色.本书可作为数学专业高年级本科生及概率论与数理统计专业研究生的选修课程的教材，也可供科技工作者和教师参考.
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| 目錄：
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第1章随机积分1
1.1随机变量2
1.2随机过程5
1.3随机积分与It公式9
1.4预备知识11
第2章定延迟SDE的整体解与稳定性分析17
2.1引言17
2.2存在唯一性与稳定性18
2.3进一步结果21
2.4例证分析23
第3章定延迟SDE的BEM方法的稳定性分析26
3.1引言26
3.2稳定性分析28
3.3进一步结果31
3.4例证分析35
第4章定延迟SDE的随机方法的稳定性分析39
4.1引言39
4.2较早的稳定性结论40
4.3改进后的稳定性结论49
4.4进一步结果54
4.5例证分析57
第5章无界延迟SDE的整体解与稳定性分析65
5.1引言65
5.2存在唯一性与稳定性66
5.3进一步结果67
5.4例证分析69
第6章无界延迟SDE的BEM方法的稳定性分析72
6.1引言72
6.2稳定性分析73
6.3进一步的结果77
6.4例证分析80
第7章无界延迟SDE的随机方法的稳定性分析85
7.1引言85
7.2稳定性分析86
7.3进一步的结果90
7.4例证分析91
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| 內容試閱：
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随机微分方程在许多领域中发挥着非常重要的作用.近十年来，许多研究者从不同角度研究了随机微分方程，并得到许多令人瞩目的成果.而大部分随机微分方程，特别是非线性条件下的随机微分方程是很难得到解析解的.此时，借助于数值方法来研究随机微分方程在许多实际问题中是非常有效的.
本书在没有线性增长和全局Lipschitz连续的条件下，研究了定延迟随机微分方程和无界延迟随机微分方程的真实解及数值解的零解稳定性.利用Lyapunov函数思想及连续型和离散型半鞅收敛定理，得到了真实解的零解稳定性，包括p阶矩和a.s.轨道意义下的指数稳定和稳定条件；也得到了数值解的零解稳定性，包括均方和a.s.轨道意义下的渐近稳定、指数稳定和稳定条件.通过对方程系数施加限制条件，具体化一般条件，使得定理的条件更易于验证.利用连续型半鞅收敛定理，在单调型条件下，得到了定延迟随机微分方程p阶矩和a.s.轨道意义下的零解指数稳定.在对无界延迟随机微分方程的研究中，引入类函数作为参照函数，并借助衰减因子-t来抑制无界延迟所带来的困难，得到了在单调型条件下无界延迟随机微分方程p阶矩和a.s.轨道意义下的零解稳定.在讨论数值解的稳定性方面，利用离散型半鞅收敛定理，研究了Backward EulerMaruyamaBEM 及更一般的随机方法的零解稳定性.对于定延迟随机微分方程，我们在单调型条件下，得到了上述两种数值解的均方渐近稳定、a.s.轨道渐近稳定.当条件加强为强单调型条件时，则可以得到数值解的均方指数稳定和a.s.轨道指数稳定，这是本书的主要特征之一.值得一提的是，在对随机方法稳定性分析中，我们同时给出了当［0,0.5时该数值方法无法复现真实解零解稳定性的反例，以及0.5,1］时该数值方法能够稳定的证明.对于无界延迟随机微分方程，借助衰减因子-t，在单调型条件和强单调型条件下，分别得到了上述两种数值方法均方和a.s.轨道意义下的渐近稳定性以及稳定性.
本书在程序上采用两阶段模式：首先，在单调型条件下建立一般性定理；其次，具体化一般性定理的条件，通过加入f与g 的增长条件，得到只含有系统参数的约束条件，最终得到便于应用的定理.我们主要考虑两类具体化的条件，单边线性增长条件和多项式增长条件.在多项式增长条件中，将扩散系数g放宽至多项式增长.在该条件下所得结论较之原有结论有了本质的改进，使得结论覆盖了许多扩散系数不满足线性增长的重要系统，如LotkaVolterra系统.以上两个具体化的条件， 不但包含在单调型条件内，也包含在强单调型条件内，这说明了强单调型条件有着很广的适用范围，并从侧面反映了两个单调型条件是非常接近的. 本书关于数值解稳定性的结论对步长的要求很弱，仅仅要求隐式数值方法的定义合理，而在定理证明中没有其他限制.换句话说，若数值解定义合理，那么对任意步长的BEM以及随机方法都是能保留复现原方程的零解稳定性的.此外，本书对各种情况都给出了可行的办法，用于计算衰减速度及.数值解的衰减速度与所选取的步长有关，但当步长选取得充分小时，这个速度会充分接近真实解衰减至零解的速度.
本书致力于系统介绍非线性随机延迟微分方程数值解稳定性的有关基础与研究进展.随机微分方程数值解的研究具有一定交叉学科的特点，因此，本书读者需具备一定概率论基础，并掌握计算数学的基本概念.本书可作为数学专业高年级本科、概率论与数理统计专业研究生的选修课程的教材，也可供科技工作者和教师参考.衷心感谢我的导师胡适耕教授，以及吴付科教授多年来对我的关心和帮助.本书的出版得到了国家自然科学基金数学天元基金项目（编号：11526101）的资助，同时也获得了国家自然科学基金地区基金项目（编号：11461028）的资助，在此表示感谢.
最后，感谢我的夫人赖玲芳长期以来对我的支持和理解.
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