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| 內容簡介： |
《Pontryagin对偶与代数量子超群》介绍乘子Hopf代数、有界型量子群、代数量子超群、有界型代数量子超群及其弱乘子Hopf代数的基本概念和理论，重点讨论这些代数上的Pontryagin对偶理论、Fourier变换与Radford公式及其应用等。
《Pontryagin对偶与代数量子超群》内容由浅入深，既有理论又有新的应用，反映了近20年来代数量子群理论研究的新成果。
《Pontryagin对偶与代数量子超群》可供大学数学和数学物理专业的高年级大学生、研究生、教师以及科研工作者阅读和参考。
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| 內容試閱：
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用算子代数的方法来逼近量子群的历史比现在人们所理解的量子群的历史要早，这一方法主要产生于人们对著名的Pontryagin对偶定理向非交换局部紧群的各种推广。
如果已知一个局部紧交换群G，它的对偶群G（即由G上的连续特征函数构成的群）也是局部紧交换群，那么Pontryagin对偶定理是说对偶群G的对偶自然同构于原来的群G。这一定理是抽象的调和分析（即扩充了的Fourier级数与Fourier积分理论）的基础。
从代数和分析的角度，量子群首次出现在Kac关于群环的研究工作中，解决的问题是Pontryagin对偶扩张到非交换群的情况，因为一般的非交换群的对偶不再是群，所以需要一个包含局部紧群及其对偶的类。例如，无限维Hopf代数或量子群的对偶不再是Hopf代数或量子群，那么无限维群代数的对偶是什么？
为了解决以上问题，1994年，比利时著名的数学物理学家vanDaele引进了乘子Hopf代数的概念，从而推广了一般的Hopf代数。1996年，vanDaele用代数的方法定义了一类特殊的量子群，称为代数量子群，它包含了所有的紧型和离散型量子群。粗略地说，一个代数量子群就是一个带有正的不变函数（Haar测度）的乘子Hopf木代数。这样一类代数体系的双对偶仍然在该类中，而且与原来的代数体系同构，也就是说，Pontryagin对偶定理成立。随后，为了寻求Pontryagin对偶定理成立的其他范畴，相继出现了广义余Frobenius代数、代数量子超群和有界型量子超群理论。
2004年，作者在比利时鲁汶天主教大学做博士后研究工作时，曾向vanDaele教授研习乘子Hopf代数理论，2006年和2009年又进一步进行合作交流，在代数量子群方面取得了一些国际领先的研究成果，此外，作为博士后期间的一个课题，从2004年到2009年，作者对无限群胚（groupoid）代数及其对偶作了研究，但远远超过我们的预料，研究工作非常困难，因为涉及弱Hopf代数、乘子代数和李理论，幸运的是，6年之后终于得到了一个比较满意的定义，暂且称为弱乘子Hopf代数，也编写在本书中。我们主要阐述了研究这一理论的动机、思想方法和如何分析一些假设条件的来源。在得到弱乘子Hopf代数的一个好的定义过程中，读者可以体会到我们的研究思路和如何发展一个新理论的方法，但这方面研究也只是一个开始，
本书的目的是介绍代数学领域的一个国际前沿研究方向：代数量子（超）群。读者可以从书中领略到这一理论具有很强的概括性、处理问题简明、涉及面广的特点，本书的取材具有很深的数学分析、算子代数及其物理背景，建立在近年来作者与同行专家合作研究的基础之上，在写作方面，本书尽量做到自成体系，当然也假定读者熟知Hopf代数的基本概念，
在完成这本书稿时，作者首先要感谢导师许永华教授在硕士与博士阶段对作者的谆谆教导。尤其要感谢vanDaele教授，感谢他在作者做博士后期间以及多年来的合作访问中所给予的各种帮助。还要感谢比利时Hasselt大学数学系的合作者Delvaux教授，她与作者进行了多次深入的讨论。作者也借此机会感谢博士生杨涛、周璇、王伟的认真阅读和打印工作，尤其感谢杨涛和王伟对全书的统一校对，最后，作者要感谢他的妻子这么多年来无怨无悔的大力支持。
本书得到了东南大学数学系江苏省应用数学重点学科项目和国家自然科学基金项目：Galois群余环、等变KO理论和扭结量子不变量（No.10871042）以及江苏省基础研究计划项目：交叉辫子张量范畴及其在量子杨-Baxter方程中的应用（No.BK2009258）的资助。
书中难免有不足甚至错误之处，恳请读者批评指正。
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