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201.6
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| 內容簡介： |
本书主要讲授连续函数的一致逼近、*逼近的存在性和*性、内积空间中的逼近、线性切比雪夫逼近、Lq空间内的逼近、*多项式逼近的收敛性以及有理函数逼近等。具体包括：伯恩斯坦定理、科罗夫金定理和谢弗定理、周期逼近、贝塞尔曲线、贝塞尔曲面、交错定理、哈尔条件、雷米兹交换算法、Pad逼近和Malhey逼近等。本书适当减少抽象理论和冗长的证明，强调计算及应用，适当突出实变函数与泛函分析课程内容在逼近论中的应用。
本书可作为理工科本科高年级学生教材，也可作为理工科研究生、教师、科研人员及工程技术人员的参考用书。
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| 目錄：
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第1章预备知识1
1.1度量空间和赋范线性空间1
1.1.1度量空间1
1.1.2线性空间3
1.1.3赋范线性空间和巴拿赫（Banach）空间5
1.2线性算子和线性泛函9
1.2.1线性算子和线性泛函的概念10
1.2.2有界线性算子和连续线性泛函11
1.3内积空间13
1.3.1内积空间的基本概念13
1.3.2投影定理15
1.4希尔伯特空间中的正交系17
1.4.1标准正交系的概念18
1.4.2傅里叶（Fourier）级数19
本章小结25
习题26
第2章逼近问题举例28
2.1函数的一致逼近28
2.2函数的最佳逼近29
2.3离散逼近29
2.4样条逼近30
2.5周期函数逼近31
本章小结31
习题31
第3章连续函数的一致逼近33
3.1魏尔斯特拉斯逼近定理33
3.2伯恩斯坦多项式35
3.3伯恩斯坦逼近定理38
3.4伯恩斯坦多项式的导数41
3.5逼近误差的估计45
3.6科罗夫金逼近定理48
3.7谢弗逼近定理50
3.8周期函数的逼近54
3.8.1科罗夫金逼近定理的应用54
3.8.2谢弗逼近定理的应用55
3.9多元函数的逼近58
3.10贝塞尔曲线61
3.10.1贝塞尔曲线的定义61
3.10.2贝塞尔曲线的矩阵表示63
3.10.3贝塞尔曲线的逼近性质64
3.10.4凸包性质65
3.10.5贝塞尔曲线的计算65
3.11贝塞尔曲面66
本章小结67
习题67
第4章最佳逼近的存在性和唯一性69
4.1最佳逼近问题69
4.2最佳逼近的存在性69
4.3最佳逼近的唯一性71
4.4最佳逼近算子及其连续性75
本章小结76
习题76
第5章内积空间中的逼近78
5.1最佳逼近的存在性和唯一性78
5.2最佳逼近的表征79
5.3标准方程组80
5.4正交系81
5.5正交多项式82
5.5.1勒让德多项式85
5.5.2切比雪夫多项式90
5.5.3雅可比多项式96
5.6分段连续函数的逼近96
5.7周期函数逼近99
本章小结100
习题101
第6章线性切比雪夫逼近102
6.1问题的提出102
6.2最佳逼近的表征103
6.3交错定理和哈尔条件104
6.4唯一性及误差估计107
6.5最佳逼近的收敛性109
6.6切比雪夫多项式109
6.7离散的逼近问题111
6.8雷米兹交换算法112
6.8.1基础步骤112
6.8.2交换步骤113
6.8.3交换步骤的实施过程113
6.8.4迭代114
6.9离散问题的交换算法116
本章小结117
习题117
第7章Lq空间内的逼近问题119
7.1问题的提出119
7.2最佳逼近的表征119
7.3Lq空间中的逼近123
7.4哈尔条件124
7.5离散的L1逼近126
7.6线性规划129
7.7不同范数下逼近的比较130
本章小结131
习题131
第8章最佳多项式逼近的收敛性133
8.1问题的提出133
8.2基于伯恩斯坦多项式的估计133
8.3一个特殊的L1逼近问题134
8.4光滑函数的逼近问题136
8.5连续函数的逼近问题139
8.6误差界的估计141
本章小结144
习题144
第9章有理函数逼近146
9.1连分式逼近146
9.2Pad逼近150
9.3Malhey逼近153
本章小结154
习题155
参考文献156
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| 內容試閱：
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以学生为导向，针对学生们的情况和需求编写的教材，才能激发其学习兴趣，培养他们的创新精神。笔者多次为本科生讲授实变函数与泛函分析课程，为数学专业硕士研究生讲授泛函分析课程。在此过程中，同学们常常问到：该课程除培养学生的逻辑思维能力外有何实际用途？大多数的同学都不清楚这门课程在除了数学外其他领域的应用。实际上，泛函分析是一门工程应用性很强的课程，很多工程应用问题都使用泛函分析中的方法。
许多诸如绘图学、测量学、机械设计等方面的工程问题的实际需求提出了最佳逼近问题。近年来，人工智能和深度学习非常热门，在各个领域应用十分广泛。如在计算机图形学领域也提出了越来越多需要使用深度学习方法来解决的各种问题，这些问题均可以从函数逼近论的角度，基于神经网络的深度学习进行理解。除此之外，很多工程问题难以给出变量之间的函数表达式，有时即使能给出表达式，公式也十分复杂，分析计算相当不便。此时，可通过采样和实验方法获得若干离散数据，又称为样本数据点，然后基于这些数据，得到这些变量之间的函数关系，这个过程在数理统计中称为回归分析。这里我们需要求出反映这些样本点趋势的函数，即函数靠近样本点，且使误差在某种度量意义下最小，这就是逼近问题。当然，运筹与优化中的逼近问题就更多了。总之，应用数学中的许多分支都和函数逼近论有着这样那样的联系。因而，函数逼近论也发展成为同许多数学分支相互交叉的、密切联系的、带有一定综合特色的分支学科。
函数逼近论主要研究三个问题：（1）给定一个函数fx，能否用简单函数（如多项式、三角多项式、有理函数等）进行逼近；（2）最佳逼近的表征及最佳逼近的存在性和唯一性；（3）如何给出最佳逼近和估计逼近的精确度。
许多逼近函数和拟合函数可由理论分析导出，这方面的分析研究不仅方便解决实际工程问题，而且可以为研究工作提供理论基础。这里泛函分析这个学科分支可以提供很多工具和理论分析方法。
笔者结合在科研和教学中的体会，借鉴国外相关专业有关课程的经验，注意理论与实际的结合，基础与最新发展的结合，把泛函分析课程中的方法应用到研究函数逼近论中的问题，力争使学生在掌握基础理论的同时，了解研究方法和实际应用。
特别感谢北京化工大学研究生院和教务处对本教材的支持，正是在研究生院和教务处的教改项目的资助下本书才得以完成和出版。笔者的研究生董利君同学为本书绘制了部分插图，程伦同学提供了Remez算法的一个算例，在此一并表示感谢。
因笔者水平有限，疏漏之处在所难免，望广大读者不吝指正。
编者
2020年6月
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