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《地图学概念的数学表述研究》可作为地图学与地理信息系统专业的研究生教材，也可供大学本科以上地图学相关专业以及地理、土地、农、林、环境科学等部门的科技人员和高等院校师生参考。
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| 內容簡介： |
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《地图学概念的数学表述研究》以拓扑学、集合论、函数论、模糊数学等数学方法，对地物的时空状态、地图投影、地图符号、基本地貌形态、地图学概念的派生逻辑等进行了描述，揭示其本质特征和内在联系。阐释了地图空间认知的数学原理和地图科学发展的动力机制。《地图学概念的数学表述研究》共6章：第1章，地理空间和制图区域；第2章，地物的分类和制图数据的处理；第3章，基本地貌形态；第4章，地图投影；第5章，地图符号；第6章，地图空间认知的原理和地图科学发展的动力机制。数学思维贯穿《地图学概念的数学表述研究》，突显理论创新特点。
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| 目錄：
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前言
第1章地理空间和制图区域
1.1地球表面、大地水准面和地球椭球
1.1.1地球表面
1.1.2大地水准面S
1.1.3我国的垂直基准
1.1.4地球椭球
1.2地理空间和制图区域的数学定义
1.2.1地理空间的构成
1.2.2制图区域
1.2.3地外系统对地表环境的影响
1.2.4地内系统对地表环境的影响
1.2.5人类对地球表层环境的作用与影响
1.3物质存在的时空条件及状态演化的数学模型
1.3.1物质存在概念的定义
1.3.2现实存在物演化的必然性及其演化的数学模型
1.4基于地物位置和属性变化的状态变异与地图数据库更新模型
1.4.1地物位置和属性时空变化的数学模型
1.4.2地图数据库现势性维护
1.4.3实例
1.5地物的性质和外形及其在地球椭球面上的投影的数学定义
1.5.1地物性质和形状变异的数学定义
1.5.2三维空间中的地物在地球椭球面上的投影
1.6地球系统信息模型
1.6.1地球信息的定义
1.6.2地球信息载体和地球信息的基本类型
1.6.3地球空间数据的基本概念
1.6.4地球空间数据的特征
1.6.5地球空间数据的原生数据与派生数据
1.6.6数据、信息与知识的关系
1.7地物物理量的度量模型
1.7.1常用物理量计量单位
1.7.2地物物理量度量原理与度量模型
1.7.3地物物理量的度量模型在测绘学中的应用
1.8地物演化的数学模型
1.8.1制图区域地物演化的数学模型
1.8.2制图区域地物演化的事例
1.8.3地物演化的数学模型的应用
第2章地物的分类和制图数据的处理
2.1地图表示的物质基础及时空尺度
2.1.1地物的物质基础
2.1.2制图对象表示的时间尺度
2.1.3制图对象表示的空间尺度
2.2地理变量的量表
2.2.1定名量表
2.2.2顺序量表
2.2.3间隔量表
2.2.4比率量表
2.2.5定名量表、顺序量表、间隔量表和比率量表的数学本质
2.2.6突变量表
2.3制图资料处理中数据偏序集的构建与简化
2.3.1制图资料及其分类
2.3.2制图对象的地理序列
2.3.3制图对象的地理变量序列
2.3.4地图符号其他特征的偏序关系
2.4测绘学概念的派生逻辑
2.4.1概念的派生逻辑
2.4.2概念派生逻辑的应用
2.5多因素评价体系的模糊聚类分析
2.5.1模糊评价的常见模型及评述
2.5.2影响地区经济发展的相关因素及权重
2.5.3评价体系的模糊聚类
第3章基本地貌形态
3.1地表形态的成因和类型
3.1.1地形形成的基本规律
3.1.2大陆地表的地形类型
3.2山地和平原的数学定义
3.2.1确定山地和平原的两个变量
3.2.2度量空间和邻域
3.2.3平地的定义
3.2.4山地和平原的变量尺度
3.2.5平地定义的推广--山地和平原的数学定义
3.2.6具有地名信息的地貌单元的定义
3.3基本地貌形态的数学定义
3.3.1陆地地貌
3.3.2斜坡
3.3.3基本地貌形态的数学定义
3.3.4基本地貌形态的数学定义的等价表述形式
3.4等高线悖论与广义等高线的定义
3.4.1等高线悖论
3.4.2广义等高线定义
第4章地图投影
4.1地图投影的拓扑学原理
4.1.1基于刺孔球面S2－{z}与二维平面同胚的地图投影定义
4.1.2地图投影类型繁多的拓扑学基础
4.2地图投影的分类
4.2.1常规地图投影的分类和命名规则
4.2.2地图投影的特征函数
4.2.3常规地图投影的分类
4.3常规地图投影的数学定义
4.3.1地图投影正常位置下按经纬网形状分类
4.3.2用于建立地图投影数学模型的基本概念
4.3.3若干地图投影的数学定义
4.4基于不同经纬线类型组合的地图投影新定义
4.4.1经线类型
4.4.2纬线类型
4.4.3合同图形
4.4.4方位投影等7种地图投影的新定义
4.5圆柱与伪圆柱组合投影
4.5.1中央经线方程、赤道方程和伪圆柱投影非中央经线方程
4.5.2变形公式
4.5.3算例
4.6椭圆边经线多圆锥投影
4.6.1经纬线方程
4.6.2变形公式
4.6.3算例
4.6.4结语
4.7可调节经线收敛度和经纬线间隔的伪圆柱投影
4.7.1中央经线方程、赤道方程和坐标公式
4.7.2变形公式
4.7.3算例
4.7.4结语
4.8适用于广西的正轴等角割圆锥投影
4.8.1正轴等角割圆锥投影公式
4.8.2投影计算
4.8.3结语
4.9适用于编制广西地图的宽带高斯-克吕格投影
4.9.1高斯-克吕格投影的条件及相关公式
4.9.22000国家大地坐标系的高斯-克吕格投影x，y，μ，γ计算程序（CASIO fx 4800P计算器）
4.9.3广西宽带高斯-克吕格投影
4.10地图投影方法在航空与航天远距离解算中的应用
4.10.1建立图解量算全球范围内任意两点间的大圆航线的基本原理
4.10.2求解大圆航线的地图投影基础
4.10.3任意两点间大圆航线的确定及应用
4.10.4结语
4.11图幅分幅编号和图幅范围的快速确定方法
4.11.1我国国家基本比例尺地形图的分幅编号方法
4.11.2计算某点所在某种比例尺地形图的分幅编号及图幅范围的程序
4.11.3算例
4.12地图投影的科学美和艺术美
4.12.1地图投影的科学美
4.12.2地图投影的艺术美
4.12.3结语
4.13由高斯-克吕格投影平面直角坐标反解地理坐标的方法
4.13.1由x、y坐标正算公式反解地理坐标
4.13.2高斯-克吕格投影直角坐标公式
4.13.3用CASIO fx 4800P计算器由x、y反解φ、λ的计算程序（2000国家大地坐标系）
4.13.4算例
4.14地图投影设计中地球椭球基本元素的计算
4.14.1地球椭球参数
4.14.2地球椭球上基本元素的计算公式
4.14.3用CASIO fx4800P计算器计算地球椭球基本元素的程序
4.152000国家大地坐标系
4.15.1采用2000国家大地坐标系的理由
4.15.22000国家大地坐标系与现行参心坐标系的不同
4.15.3采用2000国家大地坐标系对现有地形图的影响
4.15.4采用2000国家大地坐标系的时间
4.15.52000国家大地坐标系启用后对外提供的测绘成果
第5章地图符号
5.1地图符号产生的拓扑学原理
5.1.1基于拓扑映射的地图符号产生原理
5.1.2地图符号的图论解释
5.1.3地图网络的数学定义
5.2依比例符号、不依比例符号和半依比例符号的数学定义
5.2.1地图符号的定义
5.2.2依比例符号、不比例符号和半依比例符号第一定义
5.2.3依比例符号、不比例符号和半依比例符号第二定义
5.2.4第二定义与第一定义的等价性证明
5.3点状、线状和面状地图符号的数学定义
5.3.1点状、线状和面状地图符号的定义
5.3.2点状、线状和面状地图符号的另一表达形式
5.3.3点状、线状和面状地图符号的相互关系
5.4地图符号的分类
5.4.1分类的定义
5.4.2几种地图符号的分类
5.5地图符号的基本结构和功能
5.5.1点状、线状、面状地图符号的相互关系及其基本结构
5.5.2点状、线状、面状地图符号的表达功能分析
5.5.3结语
5.6基于约束变换的地图符号新定义
5.6.1依比例符号
5.6.2不依比例符号
5.6.3半依比例符号
5.6.4应用
5.7基于条件变换的地图概括新定义
5.7.1基于不同约束条件的地图概括的定义
5.7.2基于不同限制条件的地图符号的定义
5.8地图可视化与地图学概念的相关性
5.8.1满足地图可视化的基本条件
5.8.2由地图可视化派生的地图学基本概念及有关规律
5.9相似原理的科学价值及其在测绘学中的应用
5.9.1相似原理的普遍性
5.9.2相似原理的科学价值
5.9.3相似原理在测绘学中的应用
5.10地图符号蕴涵的几种拓扑变换类型
5.10.1地图符号产生的拓扑变换类型
5.10.2地图投影变换、夸大变换和缩小变换
5.10.3点状、线状和面状地图符号
5.10.4结语
5.11构建地图内容的布尔代数运算
5.11.1地图符号系统的布尔代数结构
5.11.2构建地图内容的地图概括的数学模型
5.12地图审校和错误修改的数学定义及地图质量控制模型
5.12.1地图符号生成的拓扑映射
5.12.2地图审校和错误修改的数学定义
5.12.3地图质量控制的数学模型
第6章地图空间认知的原理和地图科学发展的动力机制
6.1地图的非物质文化内涵
6.1.1地图文化形态的特点和优势
6.1.2有形、隐形、无形和抽象事物的可视化表达
6.1.3地图及其构成元素（地图符号）关系的数学表述和定量刻画
6.1.4科学文化知识的积累和传承
6.2地图空间认知过程的理论阐释
6.2.1地图符号生成的拓扑学原理确保了地图符号与指代对象的一一对应性
6.2.2地图可视化的核心地位及其派生的重要制图规则保证了地图信息传输的极大化
6.2.3地图符号中相似元素的普遍存在及其认识论价值
6.2.4地图以图形表示的优势符合人类视图形知觉的特点
6.2.5地图空间认知的心理学过程使认知成果的获得具有逻辑必然性
6.2.6结语
6.3地图科学属于人的科学
6.3.1基于认识论范畴的认识主体和认识客体的属性
6.3.2制图区域和制图物体的对象性存在确定了人的认识主体地位
6.3.3人文地理框架内的制图对象的人造物性质都具有人类影响的因素
6.3.4主体对客体的建构是主体观念地掌握客体的方式
6.3.5可视化突显的是人的主体地位
6.3.6测绘学中的范畴是人类认识客观世界的工具和掌握事物发展规律的形式
6.4基于问题求解的地图制图过程
6.4.1地图符号和地图的观念模型
6.4.2地图符号和地图的观念模型的显化
6.4.3基于问题求解的地图制图模式的拓展空间
6.5地图科学发展的动力机制
6.5.1地图空间认知的不可替代性
6.5.2地图空间认知的特点和优势
6.5.3现代测绘科技获取地球空间信息的先进方法
6.5.4科技进步和社会发展引发人类对地图的需求的长期性增长
参考文献
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| 內容試閱：
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第1章地理空间和制图区域
1.1地球表面、大地水准面和地球椭球
地理空间的数学建构，根据大地测量学的研究成果，地球表面的几何模型可分为三类：第一类是地球的自然的面，就是包括海洋底部、高山、高原在内的固体地球表面；第二类是相对抽象的大地水准面，它假设把静止的海平面延伸到所有大陆底部而形成一个连续封闭的曲面，在这个面上，处处与地球重力方向正交；第三类是椭球体模型，即根据大地水准面的形状和大小，应用数学方法拟合出一个与其最为接近的旋转椭球体陈述彭等，2001。
1.1.1地球表面
在地理空间X中，存在着固体地球X1、大气圈X2、植被圈X3、水圈X4。由于这几类不同质的实体会在不同的地方与固体地球X1相邻接，而邻接就存在界面。固体地球表面，实质上是固体地球与不同性质的地学实体邻接的界面的并集。据此，我们可以分别对陆地地表和海底地表给出定义。
1.陆地地表S陆
[定义1.1]陆地地表S陆固体地球X1与大气圈X2以及植被圈X3的界面的并集，即满足下式的点集：
S陆=X1∩X2∪X1∩X3
={i|i∈X1∧i∈X2∨i∈X3}（1-1）
称为陆地地表，记为S陆。
式（1-1）中（X1∩X2）构成无植被区的地表，而X1∩X3则构成有植被区的地表。由于陆地水系（陆地上的河流、湖泊等）习惯上被看作陆地上的地物，这里不特别把它们分离出来，也即把它与大气圈X2的界面看作陆面。
2.海底地表S海
[定义1.2]海底地表S海固体地球X1与水圈X4的交集，即满足下式的点集：
S海=X1∩X4={i|i∈X1∧i∈X4}（1-2）
称为海底地表，记为S海。
3.固体地球表面S表
[定义1.3]固体地球表面S表陆地地表S陆与海底地表S海的并集，即满足下式的点集：
S表=S陆∪S海={i|i∈S陆∨i∈S海}1-3）
称为固体地球表面，记为S表。
式（1-3）中的S陆和S海，分别由式（1-1）、式（1-2）给出。
1.1.2大地水准面S0
1849年，英国的斯托克司（G.G.Stokes）提出由重力测量资料确定地球形状的完整理论和实际的计算方法。1873年，利斯廷（Listing）创造出“大地水准面”一词，以此表示地球的形状。直到1945年，苏联的莫洛坚斯基（Molodensky）创立了用地面重力测量数据直接研究地球自然表面形状的理论。设想一个静止的海洋面，并把它延伸到大陆下面，使其形成一个包围地球的封闭曲面，这个曲面称为大地水准面，它代表一个比较规则光滑的地球形状。大地水准面处处与铅垂线垂直。由于地球内部结构的不均匀性，大地水准面仍是一个约有100m起伏幅度的曲面。过去，大地水准面只有理论数据，只是陆地上那些测点反演的数据，现在能反演动态的大地水准面。大地水准面是一个重力等位面，跟全球平均海洋面最接近，代表了地球的真实形状。
大地水准面S0是一个重力等位面，在这个面上，其重力位W0=6.2639787×109Gal1Gal=1cms2。m。W0为已测定的公认值宁津生等，2001。根据地理空间中的点是否具有W0值，可定义大地水准面S0。
[定义1.4]大地水准面S0 i∈X，若i点的重力位值满足：
S0={ii∈X∧Wi=W0=6.2639787×109Galm}（1-4）
则称S0为大地水准面。
大地水准面是所有地貌如陆地、冰川和海洋等的参考面，而大地水准面仅仅是由重力场来定义的，它可以通过后者的任何改善而改善。凡是涉及的高程变化比较小，如工程和大地测量，或者研究冰川运动、海平面变化和海洋环流时，对大地水准面的要求就非常高。现在由于GPS能精确求得大地高，因此出现了一种用GPS水准精化大地水准面的方法，它的基本原理是在一个GPS观测点上，可以获得大地高，同时又可通过精密水准测量求得该点的正高，则该点的大地水准面差距为
Ni=hi－Hi（1-5）
这样求得的大地水准面差距的精度是很高的宁津生等，2006。
20世纪80年代后期的Geosat测高卫星首次提供了覆盖全球海洋的海平面观测数据。自1992年TopexPoseidonTP测高卫星发射成功后，提供了高精度的全球测高数据。目前，测高数据经各种改正后，精度可达厘米量级。联合多种卫星测高数据可以精化全球和局部重力场模型。近年来推出的地球重力场模型，如EGM96和我国2000似大地水准面CQG2000都采用了多种海洋卫星的测高数据（宁津生等，2004）。CQG2000的总体分辨率为5′×5′，全国平均精度理论上为±0.36m。通过用中国地壳运动观测网络的73个GPS水准点进行独立检核，表明其精度在东部东经102°以东优于0.3m，西部东经102°以西，北纬36°以北优于0.4m和西部东经102°以西，北纬36°以南优于0.6m，整体精度达到分米级;其分辨率在东部为15′×15′，西部为30′×30′，且首次覆盖了我国大陆和海岸线以外400km邻海。
1.1.3我国的垂直基准
1.1956年黄海平均海水面
1956年，由总参测绘局与中华人民共和国水利部联合组成平差委员会，选定青岛1950～1956年潮汐资料，求得七年的平均海水面作为全国统一高程基准，称为“1956年黄海平均海水面”，地图上标注为“1956年黄海高程系”平均海水面值。
2.1985国家高程基准
1985国家高程基准的确定，是由M0、X0、Z0、N0、G0五种低滤波公式对青岛验潮站1952～1979年潮汐资料进行分析计算，分别得出10组18.61年和10组19年的平均海面值。考虑到月球升交点西退与季节变化对平均海面的影响后者更重要，确定选取后10组之平均值作为“1985国家高程基准”。经国务院批准，国家测绘局于1987年5月26日发出通知:从1988年1月1日起，启用“1985国家高程基准”。“1985国家高程基准”在“1956年黄海平均海水面”之上0.029m。1985国家高程基准是一个局部垂直基准。一般认为，局部平均海水面与大地水准面可能有2m的垂直位移（称为海面地形）。我国的1985国家高程基准，经利用EGM96引力位模型、大地水准面的已知位与分布全国的868个GPS水准点数据研究，结果表明，大港验潮站的平均海水面的位等于（62636853.5±0.2）m2s2，验潮站的平均海水面比大地水准面高出24.6±2.54cm，也即1985国家高程基准相对大地水准面的偏差为（24.6±2.54）cm。
3.当地平均海面
某一海区的长期验潮站，采用长时间序列（n年）的验潮资料，以n年平均海面求得样本均方差σ，可求得真实平均海面的误差为α的当地多年平均海面A0。当地平均海面的作用一为固定深度基准面（筑港零点）；二为远离大陆岛屿的高程基准。当地平均海面与1985国家高程基准（大地水准面）并不完全重合，而是有一定的偏差，即海面地形ΔH，如图1-1所示。
图1-1测绘垂直基准面
4.深度基准面
我国的深度基准面，1957年以前采用过最低低潮面印度洋大潮低潮面。1957年以后统一采用苏联弗拉基米尔斯基教授的方法以8～11个分潮M2、S2、N2、K2、K1、O1、P1、Q1、M4、MS4、M6调和常数计算的理论最低潮面，即理论深度基准面。1980年国家规定港口工程零点采用理论深度基准面。深度基准面在当地平均海面下的距离，通常以L表示L是一个负值。其对航行的保证率要求在95%以上。我国沿海港口当地平均海面与1985国家高程基准的偏差及理论深度基准面的垂直分布如图1-2所示。我国沿海当地平均海面与1985国家高程基准的偏差自北向南递增，也即海面地形值自北向南递增。黄海、渤海偏差为-10～14cm，东海偏差为13～40cm，华南沿海偏差为35～60cm，而在塘沽至连云港一带偏差几乎为零（殷晓冬、田光耀，2000）。
图1-2我国沿岸港口当地平均海面与垂直基准面的垂直分布
5.海拔高程
[定义1.5]海拔高程hi海拔高程是待测点i沿重力方向到大地水准面S0的距离，大地水准面是海拔高程起算的基准面。 i∈X，若i∈S0 hi=0，若iS0 hi≠0。
（1）当i∈S陆时，hi为陆地表面某点i的高程，如某山头的高程。
（2）当i∈S陆∧hi＜0时，hi为陆面上低于平均海水面点i的高程，如新疆艾丁湖海拔为-155m，是我国海拔最低的湖泊，为中国陆地最低处。
（3）当iS陆∧i∈X1时，hi为地下点的高程，如矿井下某点的高程。
（4）当iS陆∧i∈X2时，hi为某空中点的高程，如某飞机在某时刻的高程。
6.海洋水深
海洋水深以深度基准面计算。深度基准面是根据长期的验潮数据所求得的理论上可能最低的潮面，也称“理论深度基准面”。理论深度基准面在平均海水面以下，它们的高差在海洋“潮信表”中“平均海面”一项下注明。大地水准面S0与平均海水面在海洋上一致。平均海水面与深度基准面的关系如图1-3所示。
图1-3平均海水面与深度基准面的关系
[定义1.6]海洋水深设深度基准面为S01，海洋水深是j∈X4到S01的垂直距离。 j∈X4，若j∈S01 hj=0，若jS01∧hj＜0，表明j点处于S01以下。设平均海水面S0与深度基准面的差距为k。
（1）当j∈X4∧hj＞0时，hj为高出深度基准面的干出滩。
当0＜hj＜k时，hj为平均海水面以下的干出滩。
当0＜k＜hj时，hj为高出平均海水面但低于高潮位的干出滩。
由于干出滩以深度基准面S01计算，它属于水深系统。
（2）当j∈S海时，hj为海底某点j的深度。
（3）当j∈X4∧jS海时，j为水圈X4中的某点，hj为该点的水深。
1.1.4地球椭球
为了建立地球坐标系，测绘上选择一个形状和大小与大地水准面最为接近的旋转椭球代替大地水准面。在理论上把这个椭球体规定为跟地球最为密合的球体，在实践上先用重力技术推算出大地水准面，然后用数学上的最佳拟合方法，求出跟大地水准面最密合的一个旋转椭球体，由此确定它的形状和大小，即椭球的扁率和长半轴（或短半轴）。拟合原则是让大地水准面和椭球面相应点之间的差距（即大地水准面差距）平方和为最小。根据这一原则可以唯一地解算出一个最佳椭球。
[定义1.7]地球椭球在A区域内存在着大地水准面S0A，A的范围为[φ1，φ2]，[λ1，λ2]。
iφi，λi∈S0A Ni∈S0A，Ni为i点的大地水准面差距。若用于拟合椭球的大地水准面差距数为I，I为i的标号集，NI=∪i∈INi，那么，较均匀分布于S0A内的Ni，其值域为φi∈[φ1，φ2]，λi∈[λ1，λ2]。
（1）若iφi，λi的值域满足：
φi∈[φ1，φ2] ［0°，±90°］λi∈[λ1，λ2] ［0°，±180°］（1-6）
则称其拟合得到的椭球为参考椭球。
（2）若iφi，λi的值域满足：
φi∈［0°，±90°］λi∈［0°，±180°］（1-7）
则称为总地球椭球。
参考椭球SA在A范围内与S0A最为密合，而在A范围外则误差很大。例如，1980西安坐标系采用的IUGG75椭球即参考椭球，它只适用于我国范围内。总地球椭球，如世界大地测量系统1984年使用的WGS84椭球适用于全球。
无论是参考椭球还是总地球椭球，其长半轴a和短半轴b均满足下列椭球面方程：
x2a2+y2a2+z2b2=1（1-8）
设椭球面为S，当ix，y，z∈S时式（1-8）成立（钟业勋等，2010c）。
我国测绘界在1980年前采用“1954年北京坐标系”，用的是克拉索夫斯基椭球，a=6378245m，扁率f=1∶298.3；1980年后采用“1980西安坐标系”，用的是IUGG75椭球，a=63782140m，扁率f=1∶298.257；2008年7月1日后，采用“2000国家大地坐标系（CGCS2000）”，用的是GRS80椭球，a=63782137m，扁率f=1∶298.257222101。
1.2地理空间和制图区域的数学定义
“空间”space的概念在不同的学科有不同的解释。从物理学空间的角度看，空间就是指宇宙在三个相互垂直的方向上所具有的广延性;
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