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| 編輯推薦： |
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《线性代数》可供高等院校非数学专业（工科、经济类等）的学生、自学者和科技工作者阅读，也可以作为大中专院校的培训教材。
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| 內容簡介： |
以教育部倡导的“按通用标准和行业标准培养工程人才、强化培养学生的工程能力和创新能力”为宗旨，大力推行教育教学改革，谢俊来主编的《线性代数工科大学数学类基础课程系列教材》在此基础上孕育而生。在本书编写过程中，体系结构及讲解方法上进行必要的调整，适当淡化运算上的一些技巧，减少一些抽象的理论推导，从简处理一些公式的推导和一些定理的证明。在保证教学要求的同时，让教师比较容易组织教学，让学生比较容易理解接受，并且使学生在知识、能力、素质方面有较大的提高。本书内容包括线性方程组与矩阵、行列式与逆阵、向量组的线性相关性与矩阵的秩、线性方程组、相似矩阵及二次型共5章。每章后配备的大量习题按难易程度分成三类，以适合不同层次的读者。
本书可供高等院校非数学专业工科、经济类等的学生、自学者和科技工作者阅读，也可以作为大中专院校的培训教材。
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| 目錄：
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前言
第1章 线性方程组与矩阵
1.1 线性方程组
1.2 矩阵
1.3 矩阵的运算
1.3.1 矩阵的加法
1.3.2 数与矩阵相乘
1.3.3 矩阵与矩阵相乘
1.3.4 矩阵的转置
1.3.5 共轭矩阵
1.4 矩阵分块法
1.5 矩阵的初等变换与线性方程组
1.6 初等方阵
习题1
第1章自测题
第2章 行列式与逆阵
2.1 二阶与三阶行列式
2.1.1 二元线性方程组与二阶行列式
2.1.2 三阶行列式
2.2 全排列及逆序数
2.3 n阶行列式的定义
2.4 对换
2.5 行列式的性质
2.6 行列式按行列展开
2.7 克拉默法则
2.8 逆矩阵
习题2
第2章自测题
第3章 向量组的线性相关性与矩阵的秩
3.1 引例
3.2 n维向量
3.3 线性相关与线性无关
3.4 线性相关性的判别定理
3.5 矩阵的秩与向量组的秩
3.6 向量空间
习题3
第3章自测题
第4章 线性方程组
4.1 齐次线性方程组
4.2 非齐次线性方程组
习题4
第4章自测题
第5章 相似矩阵及二次型
5.1 预备知识：向量的内积
5.2 方阵的特征值与特征向量
5.3 相似矩阵
5.4 实对称阵的相似矩阵
5.5 二次型及其标准形
5.6 用配方法化二次型成标准形
5.7 正定二次型
习题5
第5章自测题
参考答案
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| 內容試閱：
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第1章线性方程组与矩阵
许多自然现象和经济现象，变量之间的依赖关系，本质上是非线性的。但如果忽略若干次要因素，线性依赖的法则不同程度上较好地反映实际情况，于是线性方程和线性方程组就可以在一定程度上作为描述一些客观规律的数学模型。科学技术和经济管理中的许多问题，往往可以归结为建立和求解线性方程组的问题。本章主要介绍线性方程组的基本概念以及求解线性方程组的消元法，并由此引出矩阵及其运算的有关概念。这些概念和方法既与中学知识紧密相连，又是线性代数这门课程的主线。一开始研究它，就能在以后各章通过对它深入研究，方便地引入线性代数的其他知识，深入浅出地理解和掌握线性代数的有关概念和方法。
1。1线性方程组
引例1。1现要从甲地调出物资2000t，从乙地调出物资1000t，分别供给A地1700t，B地1100t，C地200t。已知每吨运费如表1。1所示。假定运费与运量成正比，问各地物资如何调配才能使总运费最少？
表1.1
解首先，设从每个产地运到每一个销售地的数量如表1.2所示。
表1.2
其次，从甲、乙两地分别运往A，B，C三地的物资数量应该满足：x11+x12+x13=2000，（1.1）
x21+x22+x23=1000。（1.2）
然后，运到A，B，C三地的物资数量应该分别是1700t，1100t，200t，所以还应该满足：
x11+x21=1700，（1.3）
x12+x22=1100，（1.4）
x13+x23=200。（1.5）最后，总的运费y是所有产地到销地的运量乘以运费再相加，即
y=21x11+25x12+7x13+51x21+51x22+37x23。（1.6）
于是，引例1。1要解决的问题是：如何选择非负数x11，x12，，x23使之满足方程（1.1）～（1.5），而使总运费y最小。
这个问题的解决，首先依赖对方程（1.1）～方程（1.5）的研究。在方程（1.1）～方程（1.5）中，每个方程都是一个线性方程。几个线性方程联立在一起，称为线性方程组，因此方程（1.1）～方程（1.5）构成6个未知数5个方程的线性方程组。类似上面的例子还可以列举很多，也就是说，很多实际问题都可以转化为线性方程组的问题。这样的方程组的未知数的个数是多个，方程的个数也是多个。为解决这样的方程组，需要研究含n个未知数，m个方程的线性方程组的一般形式a11x1+a12x2++a1nxn=b1，
a21x1+a22x2++a2nxn=b2，
am1x1+am2x2++amnxn=bm。（1.7）
这里，xjj=1，2，，n为未知数，aiji=1，2，，m;j=1，2，，n为已知数，它是第i个方程中第j个未知量xj的系数；bii=1，2，，m也为已知数，称为第i个方程的常数项。线性方程组（1.7）中的常数项bi都为0时，称它为齐次线性方程组；否则，称为非齐次线性方程组。
所谓方程组（1.7）的一个解，就是找到n个数c1，c2，，cn，当x1，x2，，xn分别用c1，c2，，cn代入方程组（1.7）后，使方程组（1.7）中的每个方程成为恒等式。但方程组（1.7）是否一定有解呢？有解，怎么求解，解是否又唯一呢？例1.1求解方程组x1+2x2+3x3=6，
2x1－3x2+2x3=14，
3x1+x2－x3=－2。（1.8）
解第一个方程乘以－2加到第二个方程，第一个方程乘以-3加到第三个方程，得
x1+2x2+3x3=6，
－7x2－4x3=2，
－5x2－10x3=－20。（1.9）
将所得方程组的第三个方程乘以-15，得
x1+2x2+3x3=6，
－7x2－4x3=2，
x2+2x3=4。
将第二个方程与第三个方程互换，得
x1+2x2+3x3=6，
x2+2x3=4，
－7x2－4x3=2。
将第二个方程乘以7加到第三个方程，得
x1+2x2+3x3=6，
x2+2x3=4，
10x3=30。
将所得方程组的第三个方程乘以110，得
x1+2x2+3x3=6，
x2+2x3=4，
x3=3。（1.10）
解得方程x3=3，将第三个方程乘以－2加到第二个方程，第三个方程乘以－3加到第一个方程，得
x1+2x2=－3，
x2=－2，
x3=3。（1.11）
将第二个方程乘以－2加到第一个方程，得
x1=1，
x2=－2，
x3=3。（1.12）
解得x1=1，x2=－2，x3=3。
上面的求解过程就是对方程组反复进行变换直至化为最简形式的过程。从方程组（1.9）到方程组（1.11）的过程称为消元过程，这种方法称为消元法（也称为高斯消元法）。形如方程组（1.11）的方程组称为阶梯形方程组，从方程组（1.11）到方程组（1.12）的过程称为回代过程。但方程组（1.12）是方程组（1.8）的解吗？
分析一下消元法，它只对方程组作以下三种变换：
（i）交换两个方程的次序；
（ii）用一个非零的常数乘以某个方程；
（iii）把一个方程乘以一个非零的常数加到另一个方程。
定义1.1上述三种变换称为线性方程组的初等变换。
很显然，经过初等变换得到的方程组与原方程组同解。下面用消元法再解两个方程组。
例1.2求解方程组
x1+2x2－3x3=－4，
2x1+x2－3x3=4，
4x1+2x2－6x3=8。
解第二个方程乘以－2加到第三个方程，得
x1+2x2－3x3=－4，
2x1+x2－3x3=4，
0=0。
将所得方程组的第一个方程乘以－2加到第二个方程，得
x1+2x2－3x3=－4，
－3x2+3x3=12，
0=0。
将所得方程组的第二个方程乘以－13，得
x1+2x2－3x3=－4，
x2=x3－4，
0=0。
将第二个方程代入第一个方程，得
x1=x3+4，
x2=x3－4，
0=0
可知这个方程组有无穷解，x3取定一个常数，方程组就可得到一组解，我们把x3称为自由未知量。
例1.3求解方程组
x1+2x2－3x3=－4，
2x1+x2－3x3=4，
4x1+8x2－12x3=8。
解将方程组的第一个方程乘以－2加到第二个方程，得
x1+2x2－3x3=－4，
－3x2+3x3=12，
4x1+8x2－12x3=8。
第一个方程乘以－4加到第三个方程，得
x1+2x2－3x3=－4，
－3x2+3x3=12，
0=24。
因为出现一个矛盾方程0=24，所以显然可知这个方程组无解。
利用消元法，通过初等变换，我们解了三个线性方程组。发现它们的解有三种情况：唯一解、无穷解、无解，这个结论是否具有一般性呢？另外这三个方程组虽然很简单，但操作起来比较麻烦，用这种方法解一般的线性方程组将会更麻烦，有没有简单的方法呢？这就要利用下面要开始学习的矩阵的相关知识，也是线性代数最重要的知识。
1.2矩阵1.2矩阵矩阵是现代科学技术不可缺少的数学工具，特别是电子计算机出现以后，矩阵方法得到了更广泛的应用，不仅是解线性方程组。下面主要介绍矩阵的概念及基本运算。由1.1节的学习可知，如果一个线性方程组的系数和常数项确定了，这个线性方程组也就确定。所以为了表示和运算方便，线性方程组（1.7）的系数可表示为如下形式的矩形数表
a11a12a1n
a21a22a2n
am1am2amn
这种数表就称为矩阵。
定义1.2将m×n个数aiji=1，2，，m;j=1，2，，n排成m行n列的数表
a11a12a1n
a21a22a2n
am1am2amn
称为m行n列矩阵，简称m×n矩阵。为表示它是一个整体，总是加一个括弧，并用大写黑体字母表示它，记作A=a11a12a1n
a21a22a2n
am1am2amn，1.13
这m×n个数称为矩阵A的元素，简称为元，数aij位于矩阵A的第i行第j列，称为矩阵A的（i，j）元。以数aij为（i，j）元的矩阵可简记为aijm×n或aij。
m×n矩阵A也记作Am×n。当m=n时，即行数等于列数的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵。n阶矩阵A也简记作An。元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。本书中的矩阵除特别说明者外，都指实矩阵。只有一行的矩阵A=a1，a2，，an
称为行矩阵（行向量）。只有一列的矩阵
B=b1
b2
bm
称为列矩阵（列向量）。两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵。如果A=aij与B=bij是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即aij=biji=1，2，，m;j=1，2，，n，
那么就称矩阵A与矩阵B相等，记作A=B。元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作O。注意:不同型的零矩阵是不同的。在许多问题中，我们常会遇到一些变量要用到另外一些变量线性地表示。设变量y1，y2，，ym能用变量x1，x2，，xn线性地表示，即
y1=a11x1+a12x2++a1nxn，
y2=a21x1+a22x2++a2nxn，
ym=am1x1+am2x2++amnxn，（1.14）
其中aij为常数i=1，2，，m;j=1，2，，n。这种从变量x1，x2，，xn到变量y1，y2，，ym的变换称为线性变换。给定了线性变换（1.14），它的系数所构成的矩阵（称为系数矩阵）也就随之确定。反之，如果给出一个矩阵作为线性变换的系数矩阵，则线性变换也就确定。在这个意义上，线性变换和矩阵之间存在着一一对应的关系。因此可以利用矩阵来研究线性变换。
例1.4线性变换y1=x1，
y2=x2，
yn=xn称为恒等变换，它对应的一个n阶方阵En=100
010
001
称为n阶单位阵，简称单位阵，简记作E。单位阵的特点是：自左上角到右下角的直线（称为（主）对角线）上的元素都是1，其他元素都是0，即E=δij，其中δij=1，i=j，
0，i≠j。
例1.5线性变换y1=λ1x1，
y2=λ2x2，
yn=λnxn
对应的n阶方阵Λ=λ
100
0λ20
00λn称为对角阵。
对角阵的特点是：不在对角线上的元素都是0。对角阵也可简记作Λ=diagλ1，λ2，，λn。
例1.6给定两个线性变换y1=x1+2x2－x3，
y2=2x1－3x2+4x3，
y3=αx1－4x2+5x3，y1=x1+2x2－βx3，
y2=2x1+γx2+4x3，
y3=－4x2+5x3。
若这两个变换是同一变换，求α，β，γ的值。解设这两个变换对应的系数阵为A，B，则
A=12－1
2－34
α－45，B=12－β
2γ4
0－45。
因为两个变换是同一变换，所以A=B，则α=0;β=1;γ=－3。
1.3矩阵的运算
1.3.1矩阵的加法
定义1.3两个m×n矩阵A=aij与B=bij对应位置元素相加所得到的m×n矩阵，称为矩阵A与矩阵B的和，记作A+B，即
A+B=a11+b11a12+b12a1n+b1n
a21+b21a22+b22a2n+b2n
am1+bm1am2+bm2amn+bmn。
注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能够进行加法运算。矩阵的加法运算满足下列运算规律（设A，B，C都是m×n矩阵）：
（1）交换律A+B=B+A;
（2）结合律A+B+C=A+B+C。设矩阵A=aij，记-A=－aij，-A称为矩阵A的负矩阵，显然有A+-A=O。
由此规定矩阵的减法为A-B=A+-B。
1.3.2数与矩阵相乘
第1章线性方程组与矩阵
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