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| 編輯推薦： |
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《线性代数》可作为普通高等学校财经类各专业线性代数课程的教材，**限度地适应财经类各专业学习该课程和后续课程的需要，以及报考研究生的需要和将来从事与财经有关的实际工作的需要。
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| 內容簡介： |
《线性代数》是“经济数学基础教程”之一。主要内容包括行列式、矩阵、线性方程组、矩阵的特征值与特征向量、二次型、线性空间与线性变换、线性规划等，并配有适量习题。书后附有数学的作用和魅力、回首线性代数、21世纪专业人才的数学素养随想等3个附录。《线性代数》除了介绍通常的线性代数内容外，还介绍了线性规划的内容，并增加了相应的数学软件及数学建模的基本方法。
《线性代数》贯彻问题教学法的基本思想，对许多数学概念，先从提出经济问题入手，再引入数学概念，介绍数学工具，*后解决所提出的问题，从而使学生了解应用背景，提高学习的积极性；《线性代数》详细介绍相应的数学软件，为学生将来的研究工作和就业奠定基础；穿插于《线性代数》的数学建模的基本思想和方法，引导学生学以致用，学用结合。
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| 目錄：
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目录
前言
第1章行列式1
1.1从货物交换和费用分摊问题谈起1
1.1.1货物交换的经济模型1
1.1.2费用分摊问题2
1.2行列式的概念4
1.2.1二阶、三阶行列式4
1.2.2全排列及其逆序数6
1.2.3n阶行列式的定义7
1.3行列式的性质11
1.4行列式的展开法则14
1.5行列式的计算18
1.6行列式应用软件介绍23
习题126
第2章矩阵33
2.1从一些经济问题的表述谈起33
2.1.1运输问题的矩阵表述33
2.1.2商品价格及销售量的矩阵表述33
2.1.3对策论中局中人收益的矩阵表述34
2.2矩阵的概念34
2.2.1矩阵34
2.2.2几种特殊矩阵35
2.2.3关于数域的说明37
2.3矩阵的运算37
2.3.1矩阵的加法运算37
2.3.2数乘运算38
2.3.3矩阵的乘法运算39
2.3.4方阵的幂运算42
2.3.5方阵的行列式运算44
2.3.6矩阵的转置运算44
2.3.7矩阵的共轭46
2.4方阵的逆矩阵46
2.4.1逆矩阵的基本概念46
2.4.2方阵可逆的条件及逆阵的性质47
2.5分块矩阵52
2.5.1分块矩阵的加法与数乘运算52
2.5.2乘法运算53
2.5.3分块矩阵的转置运算55
2.5.4分块对角阵55
2.6矩阵的初等变换56
2.7初等矩阵与初等变换法求逆矩阵61
2.7.1初等矩阵61
2.7.2初等变换法求逆矩阵65
2.8矩阵的秩67
2.8.1概念及性质67
2.8.2矩阵秩的求解68
2.9矩阵运算的软件介绍72
习题278
第3章线性方程组88
3.1从一个经济生活问题谈起88
3.2解线性方程组的Cramer法则90
3.3解线性方程组的消元法95
3.3.1消元法96
3.3.2线性方程组解的判别定理98
3.4n维向量及其运算102
3.4.1n维向量的概念102
3.4.2向量的线性运算103
3.4.3向量的内积、长度、距离与夹角105
3.4.4向量的正交108
3.5向量的线性相关性109
3.5.1线性表示109
3.5.2线性相关与线性无关111
3.6向量组的秩116
3.6.1向量组的秩116
3.6.2再论矩阵的秩119
3.6.3正交向量组、施密特schmidt正交化124
3.7线性方程组解的结构.127
3.7.1齐次线性方程组解的结构127
3.7.2非齐次线性方程组解的结构131
3.8求解线性方程组的软件介绍135
习题3.138
第4章矩阵的特征值与特征向量147
4.1从一个投入产出模型谈起147
4.2特征值与特征向量的概念与计算148
4.3特征值与特征向量的性质152
4.4矩阵的对角化154
4.4.1相似矩阵及其性质154
4.4.2矩阵对角化的条件155
4.4.3矩阵对角化的实现158
4.4.4实对称矩阵的对角化160
4.5Jordan标准形简介163
4.6求特征值和特征向量的软件介绍165
习题4.167
第5章二次型170
5.1从利润**化问题谈起170
5.2二次型及其标准形171
5.2.1二次型与其矩阵表示171
5.2.2二次型的标准形173
5.3化二次型为标准形175
5.3.1用正交变换化二次型为标准形175
5.3.2用满秩线性变换化二次型为标准形配方法177
5.3.3用初等变换化二次型为标准形180
5.3.4惯性定理183
5.4二次型的有定及不定性186
5.4.1正定二次型及正定矩阵186
5.4.2二次型的有定性192
5.5研究二次型的软件介绍194
习题5196
第6章线性空间与线性变换199
6.1线性空间的概念与性质199
6.1.1定义与性质199
6.1.2向量空间的例子200
6.1.3线性空间的基本性质201
6.1.4子空间201
6.2线性空间的基与维数203
6.2.1线性空间中向量的线性关系203
6.2.2基与维数203
6.2.3坐标变换公式205
6.3线性变换的概念209
6.3.1线性变换的定义及例子209
6.3.2线性变换的性质211
6.4线性变换的矩阵212
6.4.1线性变换的矩阵212
6.4.2线性变换与矩阵间的一一对应214
6.4.3线性变换在不同基下的矩阵215
6.5线性变换的运算218
6.5.1线性变换的加法218
6.5.2数乘线性变换219
6.5.3线性变换的乘法219
习题6221
第7章线性规划225
7.1线性规划的数学模型.225
7.1.1问题的提出225
7.1.2线性规划的数学模型227
7.1.3线性规划模型解的基本概念229
7.2线性规划问题的图解法230
7.3线性规划问题的单纯形法233
7.3.1基本定理233
7.3.2单纯形方法236
7.3.3单纯形表的矩阵形式242
7.3.4二阶段法244
7.4运输问题的表上作业法与图上作业法246
7.4.1平衡运输问题的数学模型246
7.4.2表上作业法247
7.4.3图上作业法252
7.5解决线性规划问题的软件介绍257
7.5.1利用Mathematica求解线性规划问题257
7.5.2利用Lindo软件求解线性规划问题258
习题7263
参考答案267
附录1数学的作用和魅力282
附录2回首线性代数288
附录321世纪专业人才的数学素养随想291
参考文献297
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| 內容試閱：
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第1章行列式
数学是科学之王--高斯C.F.Gauss
行列式的概念始于300多年以前，首先引入这一概念的是日本数学家关孝和。目前形式的行列式记号则是1841年英国数学家凯莱Cayley首次给出的。
行列式的出现与求解线性方程组密切相关。由于其简洁明了的表达形式和系统规律的运算性质，它成为许多数学领域表述和计算的工具，在其他学科分支中也有着广泛的应用。
本章从几个实际经济问题入手，表明学习行列式这一数学工具的必要，进而引入其概念，讨论其性质，介绍其常用的计算方法和技巧。
本章是学习线性方程组和以后各章相关内容的基础。
1.1从货物交换和费用分摊问题谈起
1.1.1货物交换的经济模型
诺贝尔经济学奖获得者列昂惕夫Leontief曾考虑如下的一个经济学模型。在一个原始部落，根据分工，人们分别从事3种劳动：农田耕作记为F、农具与工具的制作记为M，以及织物的编织记为C。人们之间的贸易是实物交易.
图1-1给出这3组人之间的交易系统
图中所示表明，农夫们将每年收获的一半留给自己，并分别拿出14给工匠们和织布者们；而工匠们却平均分配他们制作的用具给每个组；织布者们则留下14的衣物给自己，并拿出14给工匠们、12给农夫们.此交易系统也可以用表给出，见表1-1
随着社会的发展，实物交易形式变得十分不方便，于是部落决定用货币进行交易.假设没有资本和负债，那么如何给每类产品定价，使其公正地体现旧有的实物交易系统呢?
令x1为农作物的价值，x2为农具及工具的价值，x3为织物的价值，那么由表1-1的第1行，农夫们生产的价值应等于他们交换到的产品包括留给自己的价值，即有
x1=12x1+13x2+12x3:
同理，可得工匠们和纺织者们生产与交换的价值方程为
x2=14x1+13x2+14x3;
x3=14x1+13x2+14x3:
整理得如下方程组：
因此，该问题可归结为一个三元一次线性方程组的求解问题.
1.1.2费用分摊问题
设一个公司有3个生产部门P1;P2;P3和4个管理部门M1;M2;M3;M4.公司规定，每个管理部门的费用由生产部门及其他管理部门分摊，分摊比例由服务量确定，现已知分摊费用比例如表1-2所示.
表1-2设各个管理部门M1，M2，M3，M4的自身费用如人员工资、办公费用等依次为4万元、3.5万元、15万元、2.5万元.试确定每个管理部门的总费用自身费用加上承担其他部门的费用
设管理部门M1，M2，M3，M4发生的总费用分别为x1万元、x2万元、x3万元和x4万元，由表1-2可知，对管理部门M1，应有如下等式：
x1=4+0:08x2+0:1x4:
同理，对M2，M3，M4，有如下的3个等式：
x2=3:5+0:04x1+0:08x4;
x3=15+0:1x1+0:15x2+0:08x4;
x4=2:5+0:1x1+0:04x2+0:1x3:
因此，费用分摊问题可归结为如下的四元一次线性方程组的求解：
x1.0:08x2.0:1x4=4;
.0:04x1+x2.0:08x4=3:5;
.0:1x1.0:15x2+x3.0:08x4=15;
.0:1x1.0:04x2.0:1x3+x4=2:5:
大量的社会经济现象的研究*终都可以归结为形如上述的n个方程n个未知数的齐次线性方程组右边常数项全部为零或非齐次线性方程组右边常数项至少有一个非零的求解.因此对此类方程组的求解就十分重要而有意义.在中学数学里，我们曾用加减消元法求解如下的二元一次线性方程组：
a11x1+a12x2=b1;
a21x1+a22x2=b2:
当a11a22.a12a216=0时，该方程组的解为
x1=b1a22.b2a12
a11a22.a12a21;
x2=b2a11.b1a21
a11a22.a12a21:1.1
对三元一次线性方程组
a11x1+a12x2+a13x3=b1;
a21x1+a22x2+a23x3=b2;
a31x1+a32x2+a33x3=b3;
当a11a22a33+a13a21a32+a12a23a31.a13a22a31.a11a23a32.a12a21a336=0时，该方程组的解为
x1=b1a22a33+b2a13a32+b3a12a23.b1a23a32.b2a12a33.b3a13a22
a11a22a33+a13a21a32+a12a23a31.a13a22a31.a11a23a32.a12a21a33;
x2=b1a31a23+b2a11a33+b3a21a13.b1a21a33.b2a13a31.b3a23a11
a11a22a33+a13a21a32+a12a23a31.a13a22a31.a11a23a32.a12a21a33;
x3=b1a21a32+b2a31a12+b3a11a22.b1a22a31.b2a11a32.b3a12a21
a11a22a33+a13a21a32+a12a23a31.a13a22a31.a11a23a32.a12a21a33:1.2
当未知数个数和方程个数增加时，用加减消元法得到的类似1.1式、1.2式
的公式将更加复杂.这就需要研究上面1.1式、1.2式所包含的规律，介绍行列式的概念.
1.2行列式的概念
1.2.1二阶、三阶行列式
定义1.1将22个数排列成：，称此为二阶行列式，记作D，且定义D=a11a22.a12a21，也称此为二阶行列式的展开式，式中数aiji=1;2;j=1;2称为行列式的元素，其第1下标i为行标，第2下标j为列标，表示元素aij位于行列式的第i行，第j列.
例1.1计算D1=
解
由定义1.1，D1=20￡.1.11￡.2=2，D2=a2.b2.
定义1.2将32个数排列成：称此为三阶行列式，记作D，
且定D=a11a22a33+a13a21a32+a12a23a31.a13a22a31.a11a23a32.a12a21a33，也称此为三阶行列式的展开式.
例1.2计算D=
解
由定义1.2，有二阶、三阶行列式的展开式遵循以下的对角线法则.对角线法则有了二阶行列式的定义，当D6=0时，二元一次线性方程组的解可以方便地用下式表示：
同理，有了三阶行列式的定义，当D6=0时，三元一次线性方程组的解可以方便地用下式表示：
D称为方程组的系数行列式，Dj则是用常数列替代D中第j列元素所得到的行列式
例1.3解方程组8
x1+x2.2x3=.3;
.2x1+3x2.x3=1;
2x1.x2+3x3=9:
解先计算系数行列式
因此原方程组有**解.同理可计算得
再代入1.4式得：x1=1;x2=2;x3=3.经检验是原方程组的解.
1.3式和1.4式形式规范，便于记忆，明显地表达了方程组的解与相应的方
程组的系数和常数项的关系.这就启发我们考虑：n个方程n个未知数的方程组究竟在什么条件下有解?如果有解，是否能有规律地表达并能求解?要解决上述问题，首先便要引入n阶行列式的定义，然后研究：n阶行列式的展开式会有几项?符号该如何决定?规律是什么?为此，让我们先从三阶行列式的展开式的取值特点开始分析.
1.2.2全排列及其逆序数
分析三阶行列式的展开式，不难发现：
1展开式中共有3！项，且每项都是不同行、不同列的3个元素之积.如果将每项的**个下标即行标号按自然顺序排列，则任一项可用a1p1a2p2a3p3表示，p1p2p3列标排列是1，2，3的某一排列，显然这样的排列的总个数恰为3！个；
2展开式中所有项都带符号，一半正，一半负.3项正的p1p2p3排列依次是：123，231，312；而3项负的p1p2p3排列依次是：321，213，132.符号的决定
与排列方式有关
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