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| 編輯推薦： |
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《高等数学》可作为高等院校非数学专业理工类、经济管理类、医药类、农林类等专业的高等数学课程教材, 也可供自学者阅读和有关人员参考.
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| 內容簡介： |
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《高等数学》是河南省数学教学指导委员会推荐用书. 《高等数学》根据地方院校高等数学课程教学大纲的基本要求, 结合作者多年的教学研究和教学经验编写而成,内容包括函数与极限、一元函数微分学及其应用、一元函数积分学及其应用、常微分方程、向量代数与解析几何、多元函数微分学及其应用、多元函数积分学及其应用、无穷级数和数学实践与数学建模初步.《高等数学》注重体现高等教育大众化背景, 顺应教育教学改革新常态, 着力构建完备的数学知识体系架构, 强调数学思想方法渗透, 在基本概念讲解、基本内容处理、典型例题引入、数学能力和素质提升等方面,力求做到结构完整、脉络清晰, 便于读者理解和掌握.
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| 目錄：
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目录
前言
第 1 章 函数与极限 1
1.1 函数 1
1.1.1 变量的变化范围 1
1.1.2 函数的定义 2
1.1.3 几类特殊的函数 4
1.2 函数的极限 12
1.2.1 数列的极限 12
1.2.2 函数的极限 20
1.2.3 函数极限的性质及其运算法则 23
1.3 无穷大量与无穷小量 31
1.3.1 无穷大量与无穷小量的定义 31
1.3.2 无穷小量之间的比较 32
1.4 连续函数 35
1.4.1 连续函数的定义 35
1.4.2 连续函数的性质 36
1.4.3 函数间断点的分类 38
1.5 思考与拓展 41
复习题 1 46
第 2 章 一元函数微分学及其应用 49
2.1 函数的导数 49
2.1.1 实例 49
2.1.2 导数的定义 50
2.1.3 基本初等函数的导数 53
2.1.4 高阶导数 55
2.2 求导的基本方法 57
2.2.1 导数的四则运算法则 57
2.2.2 四类特殊函数的求导法则 59
2.2.3 对数求导法与指数求导法 64
2.3 函数的微分 66
2.3.1 微分的定义 66
2.3.2 线性近似 69
2.4 微分中值定理 70
2.4.1 Rolle 中值定理 70
2.4.2 Lagrange 中值定理 72
2.4.3 Cauchy 中值定理 75
2.4.4 Taylor 公式 76
2.5 未定式极限 82
2.5.1 00型和 11型 82
2.5.2 其他未定式极限 84
2.6 函数性态的研究 87
2.6.1 函数的单调性 87
2.6.2 函数的极值 90
2.6.3 函数的凸性与渐近线 93
2.6.4 弧微分与曲线的曲率 96
2.7 思考与拓展 100
复习题 2 109
第 3 章 一元函数积分学及其应用 112
3.1 定积分的概念及性质 112
3.1.1 实例 112
3.1.2 定积分的定义 113
3.1.3 定积分的性质 116
3.2 不定积分与微积分基本定理 120
3.2.1 原函数与不定积分 120
3.2.2 微积分基本定理 123
3.3 不定积分的积分方法 127
3.3.1 换元积分法 127
3.3.2 分部积分法 129
3.3.3 四类特殊函数的不定积分 131
3.3.4 定积分的计算 137
3.4 广义积分 142
3.4.1 无限区间上的广义积分 142
3.4.2 有限区间上无界函数的广义积分 143
3.4.3 广义积分的敛散判定法 146
3.4.4 . 函数 147
3.5 定积分的应用 149
3.5.1 微元法 149
3.5.2 几何上的应用 150
3.5.3 物理上的应用 155
3.5.4 积分不等式 158
3.6 思考与拓展 167
复习题 3 172
第 4 章 常微分方程 175
4.1 常微分方程的基本概念 175
4.1.1 实例 175
4.1.2 基本概念 176
4.2 一阶常微分方程 178
4.2.1 可分离变量方程 178
4.2.2 齐次方程 179
4.2.3 一阶线性微分方程 182
4.2.4 Bernoulli 方程 184
4.3 高阶微分方程 186
4.3.1 可降阶的高阶常微分方程 186
4.3.2 n 阶线性常微分方程 188
4.3.3 Euler 方程 190
4.4 二阶常系数非齐次常微分方程 192
4.4.1 二阶齐次常系数微分方程 192
4.4.2 fx = Pmxe.x 型 193
4.4.3 fx = e.xPsxcos!x + Qtxsin!x 型 194
4.5 微分方程应用 196
4.5.1 几何上的应用 197
4.5.2 物理上的应用 198
4.6 思考与拓展 201
复习题 4 203
第 5 章 向量代数与解析几何 206
5.1 向量代数 206
5.1.1 向量的概念 206
5.1.2 向量的线性运算 207
5.1.3 向量线性运算的坐标表示 208
5.1.4 向量的方向余弦与向量的投影 209
5.2 向量的数量积、向量积与混合积 211
5.2.1 向量的数量积 211
5.2.2 向量的向量积 212
5.2.3 向量的混合积 213
5.3 空间曲面及其方程 214
5.3.1 曲面方程 214
5.3.2 二次曲面 217
5.4 空间曲线和向量函数 219
5.4.1 空间曲线及其方程 219
5.4.2 空间曲线在坐标面上的投影 220
5.4.3 向量函数 221
5.5 平面与直线 223
5.5.1 平面及其方程 223
5.5.2 空间直线及其方程 226
5.5.3 直线与平面的位置关系 227
5.6 思考与拓展 230
复习题 5 235
第 6 章 多元函数微分学及其应用 237
6.1 多元函数 237
6.1.1 区域 237
6.1.2 n 元函数及二元函数的极限 238
6.1.3 二元函数的连续性 242
6.2 偏导数与全微分 244
6.2.1 n 元函数的偏导数 244
6.2.2 二元函数偏导数与一元函数导数的差异 246
6.2.3 高阶偏导数 247
6.2.4 n 元函数的全微分 249
6.3 复合函数与隐函数求导法 254
6.3.1 复合函数求导法 254
6.3.2 隐函数的微分法 259
6.4 方向导数与梯度 262
6.4.1 方向导数 262
6.4.2 梯度 265
6.5 偏导数的应用 267
6.5.1 Taylor 公式 267
6.5.2 几何上的应用 269
6.5.3 二元函数的极值和*值 272
6.5.4 条件极值的 Lagrange 乘数法 274
6.6 思考与拓展 278
复习题 6 280
第 7 章 多元函数积分学及其应用 283
7.1 n 重积分 283
7.1.1 n 重积分的定义 283
7.1.2 n 重积分的性质 284
7.1.3 二重积分与三重积分 285
7.2 重积分的计算 289
7.2.1 二重积分的计算 289
7.2.2 三重积分的计算 296
7.2.3 二重积分和三重积分的应用 300
7.3 曲线积分 305
7.3.1 对弧长的曲线积分 305
7.3.2 对坐标的曲线积分 309
7.4 Green 公式及其应用 315
7.4.1 Green 公式 315
7.4.2 曲线积分与积分路径无关的充分必要条件 319
7.5 曲面积分 325
7.5.1 对面积的曲面积分 325
7.5.2 对坐标的曲面积分 327
7.5.3 Gauss 公式 331
7.5.4 Stokes 公式 333
7.5.5 场论初步 335
7.5.6 Hamilton 算子 337
7.6 思考与拓展 340
复习题 7 346
第 8 章 无穷级数 349
8.1 无穷级数的收敛性及其基本性质 349
8.1.1 问题的提出 349
8.1.2 无穷级数的基本概念 351
8.1.3 无穷级数的性质 354
8.2 级数收敛判别法 356
8.2.1 正项级数收敛判别法 356
8.2.2 一般项级数收敛判别法 362
8.3 幂级数 366
8.3.1 函数项级数 366
8.3.2 幂级数及其收敛性 369
8.3.3 幂级数的运算 374
8.4 函数展开为幂级数 380
8.4.1 Taylor 级数 380
8.4.2 函数展开为幂级数的应用 385
8.4.3 微分方程的幂级数解法 387
8.5 Fourier 级数 390
8.5.1 三角函数系的正交性 390
8.5.2 函数展开成 Fourier 级数 391
8.5.3 正弦级数与余弦级数 394
8.5.4 一般周期函数的 Fourier 级数 395
8.6 思考与拓展 399
复习题 8 404
第 9 章 数学实践与数学建模初步 407
9.1 数学实践 407
9.1.1 函数与极限的应用实例 407
9.1.2 一元函数微积分的应用实例 412
9.1.3 n 元函数微积分的应用实例 419
9.1.4 无穷级数的应用举例 422
9.2 Matlab 在高等数学中的应用 425
9.3 数学建模初步 429
9.3.1 基本知识 429
9.3.2 建模实例 431
9.4 简单的经济数学模型 436
9.4.1 边际成本与边际效益 436
9.4.2 效用函数 438
9.4.3 商品替代率 438
9.4.4 效用分析 439
参考文献 440
部分习题参考答案或提示 442
数学浅淡 470
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| 內容試閱：
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第1章函数与极限
微积分学中的基本概念，如连续、导数和积分等，都是以极限理论为基础的.极限思想方法是高等数学中的一个重要思想方法，极限理论推动了数学理论的发展，促使许多实际问题得以解决.在近代数学许多分支中，一些重要的概念与理论都是极限和连续函数概念的推广、延拓和深化.因此，理解和掌握极限思想和方法是学好微积分的关键.
1.1函数
1.1.1变量的变化范围
我们知道，在实际问题中有变量与常量之分.所谓变量，是指一个可以被赋予任何值的量.如果它的值是固定的，称为常量也称为常数.这里需要将任意常数和**常数区分开来.在具体问题研究中，任意常数可以保持任何给定的值，而**常数则在所给定的问题中都保持相同的值.例如，半径为r的圆周长为2 r;这里r为任意常数，而2和 为**常数.
对于任何变量都有一定的变化范围，例如，电子产品的使用寿命、天气的温度等.变量的变化范围也就是变量的取值范围，通常用区间或邻域表示，它们是实数集合R的一个子集.区间是*熟悉的常见的实数轴上的点集，它是以下几种点集的总称.设a;b2R，定义以下的区间集合.
1闭区间[a;b]=fxja6x6bg;一个点a组成的集合fag=[a;a]也是闭区间.
2开区间a;b=fxja0，称区间为点a的±邻域，记为.如果不强调，可记为Ua.称为点a的去心邻域，记为^U
以上区间称为有限区间，类似可定义以下无限区间.
此即全体实数集合R:一般地，把全体实数集R与.1;+1组成的集合称为扩充实数集
对以上区间2，5和7，它们有一共性，即其中任意一点x0，存在邻域Ux0，使得Ux0完全属于该区间.一般地，设E是R的一个子集，如果对任意x02E;存在邻域Ux0.E，则称集合E为开集.特别地，Ux0是一开集.如果F是R的子集，存在开集E，使F=R.E;则称F为闭集.显然，开集的余集为闭集，闭集的余集为开集;开区间为开集，闭区间为闭集.开集、闭集的概念超出本书范围，请读者自行查阅相应参考书.
在本书中，符号Q;N;C分别表示有理数集合、正整数集合和复数集合.
1.1.2函数的定义
定义1.1设有两个非空实数集合A与B，如果有这样一个对应法则f，使得按照该法则，对于A中的每一个数x，在B中都有**的数y与之对应，那么称f是定义在A上且取值于B的函数.其中A称为函数f的定义域，记为Df;与x对应的y记为y=fx;集合fyjy=fx;x2Dfg称为函数f的值域，记为Rf.显然RfμB:若视x;y为变量，则x为自变量，y为因变量.
函数关系的实质是变量之间的一种确定的对应关系图1.1，其含义是指对定义域内每一个x，按对应法则f总有**确定的y与之对应.因此，单值性是函数的一个重要特征.此外，函数的定义与自变量及因变量用什么字母表示无关.例如，函数y=fx同样可以用s=ft表示.
图1.1图1.2
定义域与对应法则是确定函数的两个因素，这是函数*本质的特征图1.2.因此，对两个函数来说，当且仅当它们的定义域和对应法则都相同时，表示同一个函数.例如，函数fx=jxj与函数gx=px2是同一个函数，而函数fx=1与函数gx=x就不是同一个函数，因为后者要求
从几何上看，在平面直角坐标系中，点集fx;yjy=fx;x2Ag称为函数y=fx的图像，它通常构成一条曲线，y=fx称为这条曲线的方程.
函数的表示法包括公式法、图像法、表格法和描述法，但在理论研究和后续学习中，公式法是比较常用的一种表示法，图像法是一种比较直观的几何表示法，表格法和描述法是比较少用的特殊表示方法.需要注意的是，函数用公式法表示，但没有明确其定义域，此时我们约定该函数的定义域就是使该公式有意义的一切实数.例如，y=px意味着x0:
公式法表示函数，有时未必能用一个式子表示.例如，符号函数
再如，Dirichlet①狄利克雷函数
称这种形式的函数为分段函数.分段函数是一个函数，在其定义域的不同部分用不同的式子表示其对应规律.但要注意“伪”分段函数.例如，
不是分段函数.因为另外，Dirichlet函数说明了一个重要的问题:函数的图像并不是都可以在直角坐标系中刻画出来的，也就是说图像法不能表达所有的函数.
例1.1解答下列问题:
1在区间.1;0内，函数是否为同一个函数？
2求函数的定义域;
3已知函数fx的定义域为[0;1];求fx.a+fx+aa0的定义域.
解1由于
注意到x0;所以当1.aaμ0M:
例如，函数y=sinx在其定义域R内有界，因为对任意x2R;都有从几何上看，有界函数的图像介于直线y=M1和y=M2之间.
综上，注意两点:①函数fx的有界性与给定的区间有关，函数fx=在区间[1;2]上有界，但在区间.1;1上无界;②函数fx在区间I上有界的充分必要条件是fx在区间I上既有上界，也有下界.
例1.3判定函数fx=xsinx在R上的有界性.因此，对任意的M0;只要nM，都有fx0M:因此函数fx在R上无界.
2.单调函数
设I为函数fx的定义区间，如果对任意的x1;x22I;当x1fx2;
则称fx是区间I上的单调减少函数，简称单减函数.单调增加函数和单调减少函数统称为单调函数.
如果对任意的x1;x22I;当x10;对任意x2D;有x+T2D，且
fx=fx+T;
则称函数fx是周期函数，T称为fx的周期.
如果在周期中存在*小的正值，通常称为*小正周期.需要说明的是，周期函数不一定存在*小正周期.例如，Dirichlet函数就是一个不存在*小正周期的周函数.如果数T0是函数fx的周期，则都是fx的周期.
Dirichlet函数Dx是一个很特别的函数，它是有界的偶函数，且任何有理数都是其周期，但没有*小正周期.
例1.4确定下列函数的奇偶性:
其中fx在R上有定义，且对任何的
恒有
解1由于
所以，函数fx为奇函数.
2;经计算，易知
因此，gx为奇函数.
即fx为奇函数.于是，函数Fx为偶函数.
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