当作者还是一个学生时,一位热心的数学教授向全班介绍了W.W.R.鲍尔W.W.R.Ball所写的一本书《数学游戏与欣赏》MathematicalRecreations&Essays.学生们顺从地记下了书名,绝大多数人无疑转眼就忘得干干净净.多年之后,当作者向自己几个班级的学生提到这本书时,学生们却出乎意外地对书名表示喜爱,并随之引发了一系列的质疑,游戏与数学是互相抵触的字眼,怎能合在一起呢?这是一群工科大学生的反应,他们对数学的熟练程度在平均水平之上,那么,对一大群并非出于自觉自愿,而是被迫学习数学的人,他们的态度又将如何呢?
尽管事先并不看好,结果发现,仅仅提到几个趣题,就立即使全班学生从出了名的厌学与昏睡中惊醒过来,同数论有关的一个问题竟导致非常热烈的反响以致学生们竟然不愿再回复他们的正常课业.这些问题的刺激力在全班持续了很长时间,为此,他们对代数、三角、解析几何、微积分的规定作业也增添了兴趣.它像是一种催化剂,本身虽然不参加化学反应,却把其他物质激活了.
对一些缺乏数学细胞的朋友尽管如此,他们还是要曝晒在高中代数之下活活受罪进行了相当谨慎的实验,引起的反响也同样令人满意,这就使作者产生了编写本书的想法.
一些数学家,例如W.W.R.鲍尔与E.卢卡Lucas等人曾写过质量一流的、一般题材的趣味数学读物;其他一些学者,例如托比亚斯但捷格TobiasDantzig,E.T.贝尔Bell,爱德华卡斯纳EdwardKasner则写过一些异常优秀的、介绍数学概念以及数学家传记之类的作品.但Ⅴ是,在英文书里,却缺少一本专讲趣味数论的书,本书试图弥补这个缺陷,为大家提供一些趣味盎然的奇珍异宝.还可以在任何一个收藏着很多数学书刊的大图书馆里,找到隐藏在枯燥乏味的技术论文深层的、为数更多的宝贝.
数论之所以具有难以抗拒的魅力,其中很重要的一个原因是它的问题浅显易懂,但特别迷人.另外,它又并不需要过多的预备知识.只要掌握一般高中程度的数学基础知识,初学者即可登堂入室,理解它的许多重要内容.正像读过几部侦探小说的人会情不自禁地觉得自己已有了足够的本领,可以帮助警方侦破谋杀案一样,数论领域里的初学者身上很快就会长出伊卡鲁斯之翼①,在原根与二次剩余中自由翱翔.
数学家卡尔弗里德列希高斯KarlFriedrichGauss曾经说过：高等算术中一些最美丽的定理具有这样的特性：它们极易从经验事实中归纳出来,但其证明却隐藏得极深,只有高人一等的研究者才能把它们挖掘出来.正是出于此种原因,赋予高等算术以神奇魅力,使之成为第一流数学家们最喜爱的科学.至于它远远凌驾于数学其他各分支之上的无限丰富性,那就更不必提了.
作者经常遇到的两难处境是：究竟要不要讲一讲本书各个章节所涉及的理论知识,还是干脆将它删除?如果理论讲得太多,这本书就再无趣味可言.反之,理论说明往往同结果一样有滋味有时甚至更好.基于这样一种考虑,本书还是收入了相当数量的理论性内容.读者可根据自己的爱好,或读或略.
一般地说,书中后面几章的内容要比前几章深奥一些,所以建议读者还是按照各章的先后顺序进行阅读.为了增加阅读兴趣,问题是星罗棋布地分散在各章之中的.如在问题之后未见答案,则它在第26章中总可以找到.第25章专门列出了一百个问题,它们的解答与解法提示也包含在最后一章之中.
梅桑数,清一色的1111,以及费马数这些题材分别在第3章、第11章与第17章中阐述的因子在近几年中又新发现了不少.由于时间紧迫,本书来不及将它们收入进去.读者可参看《计算数学》杂志,第17卷1963年第447、458页.
放大器被安放在另外一间房子里,用一堵厚厚的砖墙把它同快速旋转的齿轮组隔开,并密封在一具隔音板做的木头棺材里.这种做法使机器的运行情况变得稍好一些,但它仍为一种完全无法预测的颤动起伏所左右.机器在愉快而美妙地运转几分钟后突然变得无头无脑.一会儿又拉扯在一起,以完全理性的方式正常运作了刻把钟,然后,坏脾气又发作起来.而这一切,几乎都是在周围环境看不出有一点点变化的情况下发生的.
医生们被请来了,但从这些症状中推断不出机器究竟生了什么病.在放大率高达7亿倍以上的条件下要求机器能稳定地正常工作,这当然绝非易事.好有一比,就像是用一支长达一万英里的大笔而想写出一手轻松流利的书法,何况随时都有一个调皮捣蛋的小鬼在你手腕上跳来跳去.那么,小鬼究竟是什么东西?我们怎样才能把他抓住?
搜捕小鬼
日复一日地进行着徒劳无功的调试与再调试,看来并不存在什么器质性的病变,而只是神经质的.然而,这是一个很有趣、很重要的病例,年轻的主管医生不愿意放下病人不管.最后,他忽然想起了使用听诊器的办法,于是,他安装了一个扩音器并注意倾听.果然,小鬼的藏身之地被发觉了.原来,那是近邻的一个无线电站里正在运转的短波无线电扇风装置的作祟.只要它安静下来不工作,一切就都正常;而它一旦上马,放大器便会痉挛抽搐,电眼也发了红.
没有必要去尝尝它的利害,机器是由于无线电的原因而喜怒无常,对此,人们几乎无计可施,只好把放大器更妥善地进行屏蔽起来,以排除这种有趣而不需要的干扰,或者干脆等待一个无线电操作人员不上班的时间.人们当然也有点思想准备,同余式机器会给他带来许多麻烦事,无论如何,在那台敌对机器得到安置,短暂的停战终于来临之前,实在无事可作.只好等到以太波安静下来,才能把重要的算术问题提交给机器去解决.
攻打数字巨人
那一天是10月9日,正好在发现小鬼之后,因数分解机准备启动,去做一做实际的数论研究工作了.选定的那一天是毗邻无线电工作人员不值勤的日子,提交给机器的问题是要找出293 1的一个庞大的,未被人们征服的因数1537228672093301419,此数已由一项强有力的测试,判定其为第21章分解277合数.用通常办法将此数分解因数,即使最有本事的计算专家也需要终生不懈工作.但是,仅3秒钟左右,在快速旋转的齿轮旁边的电眼发出了信号,于是机器突然停了下来.人们起先感到,小鬼可能又来捣蛋了.但是,检查察看之后,终于发现那个19位的庞然大物已被分解为两个素因数：529510939与2903110321.
这是10月9日中午前后的事.远在伯克利的我,邮件一到便得知信息,当下即把其他事情安排一下,立即启程前往派萨旦那因数分解机的制造地点了解情况.我在10月17日傍晚到达,发现一个小团体已准备粉墨登场.贝尔教授,伍尔夫教授,瓦德教授都已被我儿子请来,观看因子分解机能不能攻下历史上的庞然大物,295 1的不可征服的因数3011347479614249131,而295 1这个符号所代表的数等于39614081257132168796771975169.
我儿子已掌握了一些必要但尚不够充分的证据,表明此数乃是一个素数.为了确证,他必须先研究较此数小1的数.而后者可析出较小的因数2,3,5,19.除此以外还有一个因数是5283065753709209,它已被证明为合数,但不知道它的因数究竟是什么.
在攻打这个庞然大物之前,我儿子决定利用一个结果,他已知道此数可表示为一个平方数与另一平方数的7倍之和,如果他再能找到另一个这类表达式,那么他就可以直接分解出因数来.
这个任务交给了机器,要求它找到另一种办法,把这个数字巨人表示为一个平方数与另一平方数的7倍之和.他已把与此问题有关的齿轮上的洞眼作了调整安排,一切都已准备就绪,耐心等待着一个平静时刻的到来以便开动机器.
向吉凶未卜的前境跨出一步
小集团人员紧张万分地注视着机器,它已作好了准备,以考验它能否278经受得住外力干扰.零点永远是一个解答,于是他把机器向后倒转运作5分钟,再使它向前转动,看看它会不会错过零点.机器不负众望,很快地跨越了陷阱,看来一切都很顺利.现在我们要向未知境界跨出一步了,我的儿子说,一面开动了机器.
我在地板上走来走去,极度焦躁不安.机器会不会反复无常呢?无线电小鬼会不会再来掣肘捣蛋呢?它有10000000万数据要申报进去,机器开始转动了,时间一分钟、一分钟地过去,我简直有点不敢相信,机器的眼睛真的能做到分分秒秒都不放松警惕吗?
在平稳地运转了15分钟之后,隆隆声突然停了下来,我们屏息敛神地看了读数,把结果递交给伍尔夫教授,他是一位计算专家,想了解是否真正找到了正确答数.几分钟后,我们确信果然如此,然后又安排机器来寻找其他解答.
这一次,隆隆声持续了25分钟之后才停下来.另一个正确答数果然出现了.几分钟以后,我们终于掌握了两个因数：59957与88114244437.前者易知为素数,后者则尚待确定,下一天,我同我儿子终于解决了它,确证它也是一个素数.
如果你能现场目睹小团体里各位教授及其夫人的激动心情,这定将使你万分惊讶.我们聚集在实验室里一张桌子的周围喝咖啡,谈论这台机器的神秘与不可思议的威力.大家都一致同意,凡是能用因数表或镂空模板即可解决的一些小问题是不必劳动这台专用机的大驾的.它是专门用来对付普通望远镜力所不及的、远在河外星系中的庞然大物的.可以这样说,迄今为止,还没有任何别的装置能与之匹敌.
来自华盛顿卡内基学院《新闻服务公报》第3卷第3期的这段有趣报道继续说道：
由德律克亨利雷默这位发明家在加利福尼亚州派萨旦那县罗伯特布德公司实验室建造的这台机器,是把光电池魔术与大数研究巧妙结合的一个首创范例.
人们认为,首先它可用来澄清具有2n 1与10n 1形式的数的因式分解问题,长期以来它们老是挫败了数学家们的不断努力.
除此之外,还有一些问题特别适合于本机器求解.其中之一便是18世纪瑞士数学家李奥纳德欧拉所提出的一个公式及其推广.
欧拉认为,对一切n值,表达式n2-n 41恒能得出素数.尽管此公式对40以下也包括40本身的一切n值确能得出素数,充分表明公式的素数含量十分丰富.然而,n=41时,由公式给出的数1681却是个合数.
利用同余式机器,验证该公式的一系列数据就变得大为方便.此外还有一些数论领域中的专家们所提出的、经受得住时间考验的著名公式也可以利用该机器进行校验.
走向未知数字王国,搜寻除数的这份激动心情,在雷默博士为《数学猎奇》杂志第1卷第3期1933年出版所写的一篇文章数论中的一次大猎捕中也作了绘影绘声的报道.读过这篇文章的人都被他的热情所感染.他在那里屏住呼吸地谈到了1020 1的一个因数9999000099990001终于抵挡不住他儿子的由脚踏车链条齿轮装置演变而成的那台神奇机器的攻击而倒了下来.他们蹑手蹑脚,小心翼翼地在他们的猎物前面左看右看了将近2小时.其中也包括了打开某些平行电路的机械电气接点的合筍然后,一下子成功了,所有的触点同时断开,机器突然停了下来.大猎捕行动落下了帷幕,因数也查出来了,它们是1676321与5964848081.
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