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| 內容簡介： |
本书以集合论基本知识为出发点，重点讲授勒贝格测度和勒贝格积分理论，核心是勒贝格积分，而特征函数是联系可测集、可测函数和勒贝格积分的纽带. 对于p次可积函数类，从空间的角度刻画了其整体性质，核心是完备性和可分性. *后通过引入*连续函数概念，获得了牛顿莱布尼茨公式成立的充要条件.
本书可作为统计学、数学等学科的教材或相关专业人员的参考书.
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| 目錄：
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第1章集合与点集1
1.1集合及相关概念1
1.1.1集合的运算2
1.1.2集合列的上极限和下极限4
习题7
1.2映射、基数与可数集8
1.2.1映射8
1.2.2基数（势）9
1.2.3可数集12
1.2.4不可数集与连续基数16
习题18
1.3Rn中的点集20
1.3.1n维欧氏空间Rn20
1.3.2开集、闭集及其性质25
1.3.3开集与闭集的构造27
习题29
1.4集类选讲*31
1.4.1集类31
1.4.2环与代数33
1.4.3单调类35
习题36
第2章测度理论38
2.1勒贝格测度38
2.1.1勒贝格外测度38
2.1.2勒贝格测度的定义42〖1〗目录〖1〗目录〖3〗2.1.3勒贝格测度的另一定义45
习题46
2.2勒贝格测度的性质47
习题51
2.3勒贝格可测集的结构与测度空间52
2.3.1勒贝格可测集的结构52
2.3.2测度空间54
2.3.3不可测集举例56
习题57
第3章可测函数58
3.1可测函数概念及其性质58
3.1.1可测函数概念58
3.1.2可测函数的基本性质61
习题64
3.2可测函数列的收敛性65
3.2.1几乎处处收敛与几乎一致收敛65
3.2.2可测函数列的依测度收敛性68
习题71
3.3可测函数的构造72
习题75
第4章勒贝格积分77
4.1黎曼积分存在的充要条件77
4.1.1引入勒贝格积分的常用方法77
4.1.2黎曼可积的充要条件78
习题81
4.2有界函数的勒贝格积分82
习题89
4.3一般可测函数的勒贝格积分90
习题96
4.4积分的极限定理96
习题104
4.5乘积测度和富比尼定理104
4.5.1乘积测度与勒贝格积分的几何意义104
4.5.2富比尼定理106
习题107
第5章Lp空间108
5.1Lp空间的范数与度量108
习题115
5.2Lp空间的性质116
习题122
5.3L2空间123
习题130
第6章微分与不定积分132
6.1有界变差函数132
6.2单调函数的导数136
6.3绝对连续函数与勒贝格不定积分139
6.3.1绝对连续函数140
6.3.2牛顿莱布尼茨公式143
习题144
索引146
参考文献148
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| 內容試閱：
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序言
本书第1版是为中国人民大学统计学院统计学专业、精算专业所开设的选修课实变函数论配置的讲义。出版过程中，恰逢2011年2月国务院学位委员会第二十八次会议通过了新的《学位授予和人才培养学科目录》，统计学升为一级学科，设在理学门类中。实际上，现在的一级学科统计学就是将原来的一级学科应用经济学下的二级学科统计学和一级学科数学下的二级学科概率论与数理统计合并而成，这为我国统计学的进一步发展提供了更大的平台，同时，对统计学一级学科下的课程体系也提出了更高的要求。为适应这一要求，中国人民大学统计学院将实变函数论这门课程调整为统计学专业的必修课。因此，我们决定出版《实变函数论》第2版，对在这四年的使用中发现的不妥之处进行修改和完善，使得本教材更加严谨、科学。自本书第1版出版后，部分兄弟院校的统计学院（系）将本书作为教材并提出了许多宝贵建议，在此特表示感谢。
编者2016年11月
实变函数论是中国人民大学统计学院为本科生开设的一门选修课，总课时约54学时.从实变函数的内在逻辑体系来看，集合及其运算（包括集合列的极限运算）是基础，开、闭集是构成可测集的基石；而可测集上的特征函数不但是构造一般可测函数的基础，而且是联系测度和积分的纽带，因此，我们对其进行重点讲述. 在内容的选取上，本书充分考虑了统计学专业的特点，去掉了一些复杂的数学证明. 在学习勒贝格积分之后，马上学习Lp空间，为进一步学习概率论与数理统计的后续课程做好准备.本书的编写力求做到下面两点：第一，本着由浅入深、循序渐进的原则.比如，第2章测度理论的编写，先详细讨论直线上勒贝格测度及直线上勒贝格可测集的构造，然后以此为基础，相关的结论可平行推广到n维欧氏空间上.由此进一步考虑一般抽象空间上的测度论.第二，注重学以致用.在保持实变函数理论核心知识体系的同时，尽量简明扼要，使读者既见树木又见森林；每章均配备有代表性的例题和习题，这样不但有助于加深对抽象概念及命题的认识和理解，而且有助于对实变函数理论特有的推理方法的理解和掌握.总之，设置本课程的目的，在于培养学生掌握有关勒贝格测度与勒贝格积分方面的基本知识和技能，培养严谨的数学思维能力，提高应用现代数学方法分析和解决问题的能力.教学应达到的总体目标是：1. 使学生系统地掌握各种勒贝格测度、勒贝格积分的定义思想与过程；2. 使学生掌握勒贝格测度与勒贝格积分的特点、应用条件以及与黎曼积分之间的关系；3. 提高学生掌握和运用现代数学基本知识的能力.本书根据作者在中国人民大学统计学院讲授实变函数论所积累的讲稿整理而成. 课程的助教和几位研究生为此付出了很多努力，在此表示感谢. 特别要感谢周生彬博士，在内容修改和习题配置方面他花费了许多宝贵时间，没有他的贡献，本书很难按时完成. 同时，要感谢中国人民大学统计学院将这本选修课讲义列为学院的十二五规划教材，使得本书有机会完成写作和出版.由于编者水平所限，谬误之处在所难免，敬请批评指正.
编者2012年2月
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