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| 編輯推薦： |
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本书可作为高等工科院校各专业的物理教材，也可作为综合大学和师范院校非物理专业的教材和参考书_。本书作为工科物理及理科非物理专业大学物理教材的改革尝试，注重对经典内容的精简和深化，对近代物理内容的精选和普化，对新技术新观点的拓展，力求注意各部分知识之间的相互联系，同时保持难度适中。
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| 內容簡介： |
"本书是根据教育部高等学校物理学与天文学教学指导委员会物理基础课程教学指导分委会2010年重新制定的《理工科类大学物理课程教学基本要求》编写的。全书分上、下两册，本书为下册，包括热学篇、机械振动和机械波篇、波动光学篇及量子力学篇。本书作为工科物理及理科非物理专业大学物理教材的改革尝试，注重对经典内容的精简和深化，对近代物理内容的精选和普化，对新技术、新观点的拓展，力求注意各部分知识之间的相互联系，同时保持难度适中。
本书可作为高等工科院校各专业的物理教材，也可作为综合大学和师范院校非物理专业的教材和参考书。
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| 關於作者： |
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吴延斌，1985年毕业于东北师范大学，现任沈阳大学师范学院副院长。30多年来，一直从事教学及教学管理工作，组织或参与多项省、校科研或教改项目，发表多篇论文。现为教育部高等学校物理学类专业教育指导委员会东北地区工作委员会委员、辽宁省物理专业评价委员会评委、中国高等学校电子教育学会理事。
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| 目錄：
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目录
第3篇热学
第9章气体动理论基础
9.1气体动理论的基本概念
9.1.1热力学系统的描述
9.1.2平衡态
9.1.3温度
9.1.4理想气体状态方程
9.2理想气体的压强
9.2.1理想气体的微观模型
9.2.2理想气体的压强公式
9.3温度的微观意义
9.3.1温度的统计解释
9.3.2气体分子方均根速率
9.4能量均分定理
9.4.1自由度
9.4.2能量均分定理
9.4.3理想气体的内能
9.5麦克斯韦速率分布律
9.5.1麦克斯韦速率分布函数
9.5.2三个统计速率
*9.6麦克斯韦速度分布与外场中粒子分布律
9.6.1麦克斯韦速度分布律
9.6.2重力场中粒子按高度的分布
9.6.3玻耳兹曼分布律
9.7分子的平均碰撞频率和平均自由程
9.7.1平均自由程
9.7.2分子的平均碰撞频率
*9.8气体内的输运过程
9.8.1黏滞现象
9.8.2热传导现象
9.8.3扩散现象
本章小结
阅读材料9.1天空中的涨落
阅读材料9.2温室效应
习题
第10章热力学基础
10.1热力学基本概念
10.1.1热力学系统与热力学过程
10.1.2功、热量及内能
10.2热力学第一定律
10.2.1热力学第一定律的概念
10.2.2热力学第一定律的应用
10.3绝热过程及多方过程
10.3.1绝热过程
*10.3.2多方过程
10.4循环过程及卡诺循环
10.4.1循环过程
10.4.2卡诺循环
10.5热力学第二定律
10.5.1可逆过程与不可逆过程
10.5.2热力学第二定律的两种表述
10.5.3卡诺定理
10.6热力学第二定律的统计意义及熵
10.6.1热力学第二定律的微观意义
10.6.2热力学第二定律的统计意义
10.6.3熵及熵增加原理
*10.6.4熵的力学表示
*10.6.5熵的计算
本章小结
阅读材料10.1大气环流
阅读材料10.2超流氦的喷泉效应，它违背热力学第二定律吗？
习题
第4篇机械振动和机械波
第11章机械振动
11.1简谐运动
11.1.1简谐运动的特征和表达式
11.1.2描述简谐振动的特征量
11.2简谐运动的旋转矢量表示法
11.2.1旋转矢量表示法
11.2.2旋转矢量图的应用
11.3单摆和复摆
11.3.1单摆
11.3.2复摆
11.4简谐运动的能量
11.5简谐运动的合成
11.5.1两个同方向同频率的简谐运动的合成
11.5.2同方向不同频率简谐运动的合成及拍现象
11.5.3两个相互垂直的简谐运动的合成
11.6阻尼振动、受迫振动及共振
11.6.1阻尼振动
11.6.2受迫振动
11.6.3共振
本章小结
阅读材料非线性振动与混沌
习题
第12章机械波
12.1机械波的产生和传播
12.1.1机械波的形成
12.1.2横波和纵波
12.1.3波动几何描述
12.1.4描述波动的三个基本物理量
12.2平面简谐波
12.2.1平面简谐波的波函数
12.2.2波函数的物理意义
12.2.3波动方程
12.3波的能量
12.3.1波动能量的传播
12.3.2能流和能流密度
12.3.3波的吸收
12.4惠更斯原理与波的衍射
12.4.1惠更斯原理
12.4.2波的衍射
*12.4.3波的反射和折射
12.5波的干涉
12.5.1波的叠加原理
12.5.2波的干涉
12.6驻波
12.6.1驻波的产生
12.6.2驻波方程
12.6.3驻波的特点
12.6.4半波损失
12.6.5弦线上的驻波
12.7多普勒效应
12.7.1波源静止，观察者以uR相对于介质运动
12.7.2观察者静止，波源以uS相对于介质运动
12.7.3波源以uS运动，观察者以uR运动相向运动为正
本章小结
阅读材料超声、次声和噪声
习题
第5篇波
动 光 学
第13章光的干涉
13.1光源及光的相干性
13.1.1光是电磁波
13.1.2光源
13.1.3光波的叠加
13.2杨氏双缝干涉
13.2.1杨氏双缝干涉分析
13.2.2洛埃镜干涉
*13.2.3菲涅耳双镜干涉
13.3光程及光程差
13.3.1光程
13.3.2光程差
13.3.3薄透镜不附加光程差
13.4薄膜干涉
13.4.1薄膜干涉分析
13.4.2等倾干涉
13.5等厚干涉
13.5.1等厚干涉分析
13.5.2劈尖
13.5.3牛顿环
13.6迈克耳孙干涉仪
*13.7光的时空相干性
13.7.1空间相干性
13.7.2时间相干性
本章小结
阅读材料托马斯杨和菲涅耳
习题
第14章光的衍射
14.1光的衍射现象及惠更斯菲涅耳原理
14.1.1光的衍射现象及分类
14.1.2惠更斯菲涅耳原理
14.2单缝的夫琅禾费衍射
14.2.1单缝的夫琅禾费衍射实验
14.2.2菲涅耳半波带法
14.3光学仪器的分辨本领
14.3.1圆孔夫琅禾费衍射
14.3.2光学仪器的分辨本领
14.4光栅衍射
14.4.1光栅衍射分析
14.4.2光栅光谱
*14.5X射线衍射
*14.6全息照相
14.6.1全息照片的拍摄和再现
14.6.2全息术的应用
本章小结
阅读材料光纤及其应用
习题
第15章光的偏振
15.1自然光及偏振光
15.1.1横波的偏振性
15.1.2自然光
15.1.3线偏振光
15.1.4部分偏振光
15.2起偏及检偏
15.2.1偏振片的起偏和检偏
15.2.2马吕斯定律
15.3反射和折射时光的偏振
*15.4双折射现象
15.4.1双折射现象及寻常光和非常光
15.4.2晶体的光轴与光线的主平面
15.4.3用惠更斯原理解释双折射现象
*15.5偏振光的干涉及人为双折射现象
15.5.1椭圆偏振光与圆偏振光及波片
15.5.2偏振光的干涉
15.5.3人为双折射现象
*15.6旋光现象
本章小结
阅读材料液晶
习题
第6篇量
子 力 学
第16章早期量子论
16.1黑体辐射和普朗克量子假设
16.1.1热辐射及基尔霍夫定律
16.1.2绝对黑体的辐射定律
16.1.3普朗克量子假设
16.2光电效应及爱因斯坦的光子理论
16.2.1实验装置
16.2.2光电效应的实验规律
16.2.3经典理论解释光电效应遇到的困难
16.2.4爱因斯坦光子假设
16.2.5光子的能量及动量
16.3康普顿效应
16.3.1实验装置
16.3.2实验结果
16.3.3经典理论解释的困难
16.3.4用光子理论解释
16.3.5康普顿效应公式的推导
16.4玻尔的氢原子理论
16.4.1原子光谱的实验规律
16.4.2玻尔的氢原子理论
16.4.3用玻尔理论计算氢原子轨道半径及能量
16.4.4对玻尔理论的评价
本章小结
阅读材料丹麦科学家玻尔
习题
第17章量子力学基础
17.1微观粒子的波粒二象性
17.1.1德布罗意假设
17.1.2德布罗意波的实验证实及电子衍射实验
17.1.3德布罗意波的统计解释
17.2测不准关系
17.3波函数及薛定谔方程
17.3.1波函数
17.3.2薛定谔方程
17.4一维定态薛定谔方程应用
17.5量子力学中的氢原子问题
17.5.1氢原子的能级
17.5.2氢原子的波函数
17.5.3氢原子核外电子的概率分布
17.6电子自旋及原子的电子壳层结构
17.6.1施特恩格拉赫实验
17.6.2假设
17.6.3原子壳层结构
本章小结
阅读材料量子力学十大应用
习题
第18章量子物理应用
18.1固体能带结构
18.1.1布洛赫定理
18.1.2一维周期场中电子运动的近自由电子近似
18.2激光原理
18.2.1激光产生原理
18.2.2激光技术的应用
18.3半导体
18.4超导体
18.4.1超导体的概念
18.4.2超导的主要特性
18.4.3高温超导体的发现
18.4.4超导的意义及应用
18.5核物理
18.5.1核物理的发展历程
18.5.2核物理的应用
18.5.3核物理应用的启示
18.6粒子物理
18.6.1粒子物理的概念
18.6.2粒子家族
18.6.3守恒律
18.6.4标准模型
18.6.5总结与展望
本章小结
习题
附录A希腊字母读音表
附录B基本物理常量
附录C国际单位制的基本单位
附录D常用物理量的国际单位制导出单位
附录E物理名词中英文对照表
习题答案
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| 內容試閱：
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前言
2010年教育部高等学校物理学与天文学教学指导委员会物理基础课程教学指导分委会对《理工科类大学物理课程教学基本要求》简称《基本教学要求》进行了重新编写，划分出了基本核心内容的A类知识点和作为拓展内容的B类知识点。要求各高校不仅要保证基本知识结构的系统性和完整性，还要在知识的深度和广度上有所拓展。为顺应这一要求，并考虑到目前普通高等学校学生对大学物理课程学习的特点，我们编写了本书。本书以2010版的基本要求为指导，不仅融入了作者多年教学经历所积累的成功经验，而且还融合了国内外众多优秀教材的优点，并考虑到目前学生学习和教师教学的新特点，主要侧重于以下几个方面： 1. 精简经典内容，深化教学体系。在内容上以《教学基本要求》中A类知识点为核心，对B类知识点选择性地做了适当拓展，既保证了基本知识结构、系统的完整，又开拓了学生的视野。2. 开窗口，注重内容现代化。书中以阅读材料的形式，把一些当前高新技术领域中的基础性物理原理引入，大力促进了读者对现代物理学观念的形成。3. 注重培养全局掌握，运用知识综合能力。书中精选的例题和习题，力求突出对物理概念和原理的运用，避免冗长的数学推导。全书分上、下两册，上册包括力学篇、电磁学篇； 下册包括热学篇、机械振动和机械波篇、波动光学篇和量子力学篇。本书作为工科物理及理科非物理专业大学物理教材的改革尝试，注重对经典内容的精简和深化、对近代物理内容的精选和普化、对新技术新观点的拓展，力求注意各部分知识之间的相互联系，同时保持难度适中。书中部分带*号的章节，表示超出课程范围，即选学的内容。本书可作为高等工科院校各专业的物理教材，也可作为综合大学和师范院校非物理专业的教材和参考书。本书的编者集合了沈阳大学物理系的各位优秀教师，他们都有多年从事大学物理课程教学的经验和教学研究、科学研究的体会。第1~3章由林欣悦、吴延斌完成，第4、16~18章由王立国、黄有利完成； 第5、6章由张会完成； 第7、11、12章由韩笑完成； 第9、10章由王建华完成； 第8、13~15章由孙力完成； 刘文中负责全书图稿和习题部分的整理工作。另外吴延斌、韩笑还负责全书的统稿工作。由于编者水平有限，加之时间仓促，如有疏漏和不妥之处，恳请各位读者批评指正。编者2016年8月
第11章机 械 振 动
振动是非常普遍的运动形式，拨动的琴弦、走动的钟摆摆轮、昆虫的翅膀、固体晶体点阵中的原子或分子等都在振动。在力学范围内，物体在某一位置附近来回往复的运动叫做机械振动，或简称为振动。广义地说，任何一个物理量随时间的周期性变化都可以叫做振动。例如，电路中的电流、电压，电磁场中的电场强度和磁场强度也可以随时间做周期性变化。这种振动虽然和机械振动有本质的不同，但它们随时间变化的情况以及许多其他的性质在形式上都遵从相同的规律，因此研究机械振动的规律有助于了解其他种振动的规律。在不同的振动现象中，最简单、最基本的振动是简谐运动，一切复杂性的振动都可以分解为若干个简谐运动的合成。本章着重研究简谐运动的规律。11.1简 谐 运 动物体运动时，如果离开平衡位置的位移x或角位移随时间t按余弦函数或正弦函数的规律变化，这种运动就称为简谐运动。在忽略阻力的情况下，弹簧振子的小幅度振动以及单摆的小角度摆动都可看作简谐运动。下面以弹簧振子为例讨论简谐运动的特征及其规律。11.1.1简谐运动的特征和表达式将轻弹簧质量可忽略不计一端固定，另一端与质量为m的物体可视为质点相连，若该系统在振动过程中弹簧的形变较小即形变弹簧作用于物体的力总是满足胡克定律，那么，这样的弹簧物体系统称为弹簧振子。
图111弹簧振子
如图111所示，将一弹簧振子系统水平放置在光滑的平面上，弹簧处于自然伸长状态时，物体所在的位置O作为平衡位置，以平衡位置O为原点，建立水平方向的x轴。当物体离开平衡位置的位移为x时，根据胡克定律，其所受到的弹力为
f=-kx111
式中，k为弹簧的劲度系数； 负号表示弹力的方向与振子的位移方向相反，即振子受到的力总是指向平衡位置，且力的大小与振子的偏离位移成正比，这种力就称为线性回复力。根据牛顿第二定律，有
md2xdt2=-kx112
式112可以改写成
md2xdt2 kx=0113
令2=km，则式113可变成
d2xdt2 2x=0114
式114为简谐运动的微分方程，它是一个二阶线性常微分方程，其解为
x=Acost 115
式115即简谐运动的运动方程，或称为简谐运动的余弦表达式。式中，A称为振幅； 称为角频率； t 称为相位角； 称为初相角。根据正弦函数与余弦函数的换算关系，式115还可以表示为正弦形式除特殊说明外，本书均采用余弦形式。其中，A和为两个积分常量，由初始条件来决定。由以上分析可知，式115是式114的解，而式114又源于式111，因此，这三个条件均可作为判定一个物体是否做简谐运动的判据。因此可以说，只要一个物体做的是简谐运动，则其在运动中受到的合外力必为线性回复力作用，即力与位移正比反向，或加速度与位移正比反向，这一结论称为简谐运动的动力学特征。根据速度和加速度的定义，可以得到物体做简谐振动时的速度和加速度：
v=dxdt=-Asint =Acost 2116
a=d2xdt2=-A2cost =A2cost 117
式中，A=vm称为速度振幅； A2=am称为加速度振幅。由此可见，物体做简谐运动时，其速度和加速度也随时间做周期性的变化。图112画出了简谐运动的位移、速度和加速度与时间的关系。
图112位移、速度和加速度与时间的关系
11.1.2描述简谐振动的特征量1. 振幅A
在简谐运动的运动方程x=Acost 中，因余弦函数的绝对值不能大于1，所以物体的振动范围在A之间，我们把做简谐运动的物体离开平衡位置的最大位移的绝对值A叫做振幅，它反映了物体简谐运动的空间范围。2. 周期T、频率、角频率由式115的建立过程得
=km118
式中，称为角频率，显然，是由弹簧振子系统的固有条件劲度系数k、振动物体的质量m决定，因此又称为固有角频率，它反映了物体做简谐运动的周期性的特征。物体做简谐运动时，周而复始地完成一次全振动所需的时间叫做简谐运动的周期，用T表示，单位为s秒。周期T和角频率的关系为
T=2119
对于弹簧振子系统而言，由于其固有角频率为=km，则其周期也由系统固有条件决定，称为固有周期，即
T=2mk1110
周期的倒数为物体做简谐运动的频率，即单位时间内系统完成的完全振动的次数，用表示，单位为Hz赫兹。
=1T=21111
同样对于弹簧振子系统而言，它也是由系统固有条件决定，称为固有频率，即
=12km1112
3. 相位t 和初相位由式115可知，在确定振幅A和角频率的情况下，系统振动状态的确定将由t 决定。t 是决定简谐运动状态的物理量，称为振动的相位，而即为t=0时的相位，称为振动的初相位。相位决定了物体简谐运动的状态，例如，当t =0时，有x=A，v=0，表示物体在正向最大位移处而速度为零； 当t =2时，有x=0，v=-A，表示物体在平衡位置并以最大速率向x轴负向运动； 当t =32时，有x=0，v=A，这时物体也在平衡位置，但以最大速率向x轴正向运动。可见，不同的相位表示不同的运动状态。凡是位移和速度都相同的运动状态，它们所对应的相位差为0或2的整数倍，由此可见，相位是反映周期性特点、用以描述运动状态的重要物理量。相位概念的重要性不仅在于可以描述物体的振动状态，通过相位还可以比较两个振动之间在步调上的差异。设有两个简谐运动
x1=A1cost 1
x2=A2cost 2
它们的相位差为
=t 2-t 1=2-1
若相位差等于0或2的整数倍，则称两振动同相； 若相位差为或的奇数倍，则称两振动反相。当相位差为其他值时，如果2-10，则称第二个振动超前于第一个振动，或者说第一个振动落后于第二个振动。4. 振幅和初相位的求法由简谐运动的运动方程和速度方程
x=Acost
v=-Asint
并将初始条件t=0，x=x0，v=v0代入，可得
x0=Acos0
v0=-Asin0
求解上述方程组，不难得出
A=x20 -v021113
tan=-v0x01114
由式1113、式1114可知，振幅和初相位均由初始条件决定。必须注意的是，由于习惯于取值在-~ 范围内，所以，便可能有两个值满足式1114，因而必须将的两个值分别代入v0=-Asin0中，由初速度的正负来决定的取舍。例111一个理想的弹簧振子，弹簧的劲度系数k=0.72Nm，振子的质量为002kg，t=0时，振子在x0=0.05m处，初速度为v0=0.30ms，且沿着x轴正向运动，求：1 振子的运动方程。2 振子在t=4s时的速度和加速度。解1 因为振子做简谐运动，所以可设它的运动方程为
x=Acost
根据振动系统的固有条件可求得角频率为
=km=6.0rads
由振动系统的初始条件及式1113可得振幅
A=x20 -v02=0.07m
由tan=-v0x0可得
=4
将初相位=4回代到v0=-Asin0中，由于t=0时，质点沿x轴正向运动，所以，只有=-4满足要求。于是，所求的振动方程为
x=0.07cos6t-4m
2 当t=4s时，质点的振动相位为
t =6t-4=54
由式116、式117可得
v=-Asint =0.297ms
a=-A2cost =1.78ms
11.2简谐运动的旋转矢量表示法11.2.1旋转矢量表示法
在研究简谐运动问题时，常采用一种较为直观的几何方法，即旋转矢量表示法。设一给定的简谐运动为
x=Acost
如图113所示，一长度等于振幅A的矢量A在纸平面内绕O点沿逆时针方向匀速旋转，其角速度与简谐运动的角频率相等，这个矢量A称为旋转矢量。假设t=0时，矢量A的矢端在位置P，与Ox轴的夹角为简谐运动的初相角； 任意时刻t，矢量A的矢端的位置与Ox轴的夹角应为t ； 这时，矢量A的矢端在Ox轴上的投影点的位移为
x=Acost
图113旋转矢量表示法
这正是质点沿Ox轴做简谐运动的运动方程。它表明，旋转矢量A的矢端在Ox轴上投影点的运动是简谐运动。矢量A旋转一周，相当于投影点在Ox轴上做一次完全振动，矢量A的端点在旋转过程中形成的圆称为参考圆。在这种描述方法中：1 振幅为矢量A的长度即参考圆的半径；2 零时刻矢量A与x轴正向之间的夹角为初相角；3 固有角频率为矢量A做逆时针转动的角速度；（4） t时刻矢量A与x轴正向的夹角为相位t 。由此可见，旋转矢量表示法最大的优点就是形象、直观，它不仅将简谐运动中最难理解的相位用角度表示出来，还将相位随时间变化的线性和周期性也清楚地描述出来了。必须强调指出，旋转矢量本身并不做简谐运动，我们是用矢量A的端点在Ox轴上的投影来形象地展示一个简谐运动的。下面就用这一方法描述简谐运动x=Acost 4的xt振动曲线，并以此来帮助大家具体地领会旋转矢量表示法。
为作xt图方便起见，在图114中，我们使旋转矢量图的Ox轴正方向向上，在图的右侧随着矢量A的旋转同步地画出xt图，t=0时，矢量A与x轴的夹角等于初相位=4，矢端位于a点，而a点在Ox轴上的投影便是xt图中的a点，随着矢量A沿逆时针方向旋转每个周期转一圈，经过T8的时间，矢量A到达b点，而b点在Ox轴上的投影便是xt图中的b点，以此类推这样经过一个周期的时间，相位变化了2，矢量A的端点在x轴上的投影也就完成了一个周期的振动。
图114矢量A端点的投影点的简谐运动
11.2.2旋转矢量图的应用1. 求初相位
用旋转矢量图求相位简单而方便，具体步骤如下：1 作半径为A的参考圆，依题意确定振动方向为坐标x方向，如图115a所示。2 根据t=0时刻质点所在位置x0给出初相位取值的两种可能性，如图115b所示。
图115由旋转矢量表示法确定
3 根据坐标正向确定t=0时刻质点的初速度v0的正负，从而判断初相位的正确取值。
显然，由于我们规定用旋转矢量图来描述质点运动时，矢量A要沿逆时针方向旋转，因此，在t=0时，如果矢量A在参考圆的上半周旋转，代表矢量A投影点向x轴负方向运动，即速度v0为负，在图115b中，在-~ 内对应为正值； 同理，当矢量A在参考圆的下半周旋转时，代表矢量A投影点向x轴正方向运动，即速度v0为正，相应取为负值。2. 用旋转矢量图比较各振动之间的相位关系设有两个振子的振动方程分别为
x1=A1cost-3
x2=A2cost-6
它们的旋转矢量如图116所示。从图中显然可以看出，A2超前于A1的相位是6。
图116振动相位的比较
例112弹簧振子沿x轴做简谐振动，振幅为0.4m，周期为2s，当t=0时，位移为0.2m，且向x轴负方向运动。求简谐运动的振动方程。解设此简谐运动的振动方程为
x=Acost
则其速度为
v=dxdt=-Asint
解法一： 将A=0.4m，=2T=和t=0时的x0=0.2m，代入x=Acost 得
=3
再由t=0时v00，此时刻旋转矢量应在Ox轴的右侧，它与Ox轴的夹角1=53就是该时刻的振动相位，即1 23=53，解得=。
图118例113图
图119t=0时旋转矢量图
所以振动方程为x=4cost 23cm
11.3单摆和复摆11.3.1单摆
如图1110所示，一根长度为l不会伸长的轻线，上端固定，下端悬挂一个质量为m的小球，线在铅直位置时，小球处于平衡位置O点。将小球从平衡位置做一微小角位移然后释放，这时小球便在重力和悬线张力作用下，在铅直平面内沿弧线做来回往复的摆动。这一振动系统就叫做单摆，通常把重物叫做摆锤，细线叫做摆线。
图1110单摆
当小球离开平衡位置的角位移为规定小球在平衡位置右侧时取正，在左侧时取负时，作用在小球上的重力的切向分力的大小为mgsin，其方向总是与摆线垂直且指向平衡位置。这个力起着回复力的作用，可用下式表示：
f=-mgsin
当足够小小于5时，sin，这时回复力可写为
f=-mg
式中，负号表示f与角位移的符号相反。此力与角位移的一次方成正比，属于线性回复力，它在这里所起的作用与弹性力相似，但在本质上又不是弹性力，称为准弹性力。从受力的角度看，单摆与弹簧振子的运动是相同的。根据牛顿第二定律，有
f=mat=mdvdt=mddtl=mlddt=mld2dt2=-mg
上式可改写成
d2dt2 gl=01115
令2=gl，则式1115可表示为
d2dt2 2=01116
将式1116与式114比较，两者形式完全一样，是简谐运动的微分方程的标准形式。由此可见，单摆的小角度摆动具有简谐运动的特征。其运动方程为
=0cost 1117
单摆振动的角频率和周期分别为
=gl，T=2lg1118
可见，单摆的周期和角频率也为固有周期、固有角频率，它们取决于摆长和该处的重力加速度。利用式1118，可通过测量单摆的周期以确定该地点的重力加速度。11.3.2复摆
如图1111所示，质量为m的任意形状的物体，被支持在无摩擦的水平轴O上，将它拉开一个微小角度后释放，物体将绕O轴做微小的自由摆动。这样的装置叫做复摆。设复摆对O轴的转动惯量为J，复摆的质心C到O轴的距离OC=l。
图1111复摆
复摆在某一时刻受到的重力矩为M=-mglsin，当摆角很小时，sin，有M=-mgl，若不计空气阻力，由转动定律得
d2dt2 mglJ=01119
将式1119与式1116比较，可见复摆运动在摆角很小时，可视为简谐运动。其振动的角频率和周期分别为
=mglJ，T=2Jmgl1120
如果已知复摆对轴O的转动惯量J和质心到该轴的距离l，通过实验测出复摆的周期T，可求得该地点的重力加速度g； 或者，已知g和l，由实验测得T，可求出复摆绕轴O的转动惯量J。11.4简谐运动的能量下面以弹簧振子为例讨论说明简谐运动的能量。设质量为m、劲度系数为k的弹簧振子，其位移和速度分别为
x=Acost
v=-Asint
于是，质点的振动动能为
Ek=12mv2=12mA22sin2t
考虑到2=km，上式可改写为
Ek=12mv2=12kA2sin2t 1121
如果取物体在平衡位置的势能为零，则振动系统的势能为
Ep=12kx2=12kA2cos2t 1122
将式1121和式1122相加，即可以得到弹簧振子振动的总能量为
E=12kA2=12m2A2=12mv2m1123
式1123说明，孤立的谐振系统在振动过程中的动能和势能虽然分别随时间而变化，但总的机械能在振动过程中是守恒的。这是因为振子在运动过程中所受到的力是线性回复力，而线性回复力是保守力。在线性回复力作用下，当振子从最大位移处向平衡位置运动的过程中，回复力对振子加速，
图1112谐振子动能、势能和总机械能随
时间的变化曲线
将弹簧的弹性势能转化为振子的动能； 而当振子从平衡位置向最大位移处运动的过程中，回复力将阻碍振子的运动，将振子的动能转化为弹簧的势能，所以，振动系统中动能和势能的关系是： 相互转化，总量守恒。此外，式1123还说明，简谐运动系统的总能量和振幅的平方成正比，因此，对一个确定的振动系统而言，振动的强弱由振幅的大小来描述。图1112表示初相位=0的简谐运动系统中动能、势能和总机械能随时间的变化曲线。从图中可以看出，当物体做简谐运动时，其动能和势能均随时间按正弦或余弦函数的平方发生变化。当物体运动到最大位移处时，其势能最大，动能为零； 当物体运动到平衡位置处时，其动能最大，势能为零。简谐运动过程正是动能和势能相互转化的过程，而动能和势能的变化频率是振动频率的两倍。由式1121和式1122可求得简谐运动系统的动能和势能在一个周期内的平均值为
Ek=1TT0Ekdt=1TT012kA2sin2t dt=14kA2
Ep=1TT0Epdt=1TT012kA2cos2t dt=14kA2
可见，动能和势能的平均值相等，都等于振动总能量的一半，即Ek=Ep=12E。上述结论虽是从弹簧振子系统推出的，但具有普遍意义，适用于任何一个谐振动系统。例114质量为0.10kg的物体，以振幅1.010-2m做简谐运动，其加速度振幅为40ms，。1 求振动的周期。2 求通过平衡位置时的动能。3 求总能量。
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