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| 編輯推薦： |
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本书对指数和的由来和发展做了较为详细的介绍，对已有的成果和方法进行了归纳和总结，值得研究相关课题者参考
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| 內容簡介： |
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本书主要讨论数论中指数和的计算这一重要问题。指数和的上界估计是解析数论中的一个经典问题，指数和方法在很多数论问题中发挥了重要的作用。与指数和相应的是特征和。指数和、特征和以及它们的各种推广和式的计算与估计不仅在解析数论的研究中占有重要的地位，而且在密码学中也有着非常重要的应用。要建立EIGamal公钥密码体制首先必须得到循环群 的一个生成元 ，即原根。而原根的计算是极其困难的，指数和与特征和的相关结论可以用来估计原根的范围。对指数和与特征和的研究既具有理论意义又具有实用价值，在这一领域取得任何实质性进展都会对解析数论及密码学的发展起到重要的推动作用。 本书着重讲述带Dirichlet特征的二项指数和的均值、不带特征的二项指数和的均值、不带特征的三项指数和的均值、是广义二次Gauss和的均值、广义kloosterman和高次均值的分析与计算问题，就指数和均值这一问题的来源、研究进展做了详细的讲解，并且分享了作者*的研究成果。
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| 關於作者： |
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艾小川，副教授，理学博士，硕士生导师。主要研究方向：数论与密码，装备可靠性。主持和参与国家自然科学基金、十三五预研、湖北省自然科学基金等项目二十余项。
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| 目錄：
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第1章 绪论 1
第2章 二项指数和 3
2.1 二项指数和问题的由来与进展 3
2.2 二项指数和的四次均值 8
2.2.1 几个引理 8
2.2.2 定理的证明 16
2.3 带Dirichlet特征的二项指数和的四次均值 17
2.3.1 几个引理 18
2.3.2 定理的证明 23
2.4 小结 25
第3章 三项指数和 27
3.1 三项指数和问题的由来与进展 27
3.2 三项指数和的四次均值与同余方程组 30
3.3 三项指数和的四次均值的精确计算公式 35
3.4 小结 48
第4章 广义k次Gauss和 49
4.1 Gauss和及其推广和式的发展 49
4.2 广义二次Gauss和六次均值的计算 54
4.2.1 几个引理 55
4.2.2 定理的证明 90
4.3 广义k次Gauss和高次均值的计算 91
4.3.1 几个引理 91
4.3.2 定理的证明 93
4.4 小结 94
第5章 广义Kloosterman和 95
5.1 Kloosterman和的由来和推广 95
5.2 广义Kloosterman和四次均值的计算 97
5.2.1 几个引理 99
5.2.2 定理的证明 110
5.3 小结 113
第6章 总结和展望 115
参考文献 117
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| 內容試閱：
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前言
指数和的上界估计是解析数论中的一个经典问题，计算和估计指数和上界的方法称为指数和方法，国内外许多著名的数学家如华罗庚、A.Weil等对此问题做了深入的研究，取得了很多重要的成果．指数和方法在很多数论问题中都发挥了重要的作用，如素数分布问题、Waring问题（华林问题）、Prouhet-Tarry问题（齐次问题）以及圆内、球内整点问题等．
近些年来，人们发现尽管单个指数和的取值是不规则的，但是其高次混合均值却表现出良好的分布性质，这引起了国内外许多学者的研究兴趣和热情，因而对指数和及其各种推广和式高次均值的分析计算就逐渐成为这一领域的一个新的研究热点．国内外许多学者深入地研究了二项指数和、Gauss和（高斯和）、Kloosterman和（克洛斯特曼和）等和式及它们的各种推广和式高次均值的性质和计算．
指数和、特征和及它们的各种推广和式的计算与估计，不仅在解析数论中占有重要的地位，而且在密码学中也有着非常重要的应用．对指数和与特征和的研究既具有理论意义又具有实用价值，在这一领域取得任何实质性进展都会对解析数论及密码学的发展起到重要的推动作用．
本书就指数和的由来和发展做了较为详细的介绍，对已有的成果和方法进行了归纳和总结，分享了自己的一些研究结果，提出了一些新的想法，探讨了下一步的研究方向．本书着重讲述了不带特征及带Dirichlet特征的二项指数和的四次均值、不带特征的三项指数和的四次均值、广义二次Gauss和的六次均值、广义k次Gauss和的高次均值、广义Kloosterman和的四次均值的分析与计算．
全书共6章，第1章主要介绍了指数和问题研究的起源、各阶段重点研究方向及其在解析数论和密码学中的重要性．第2章到第5章分别讨论了二项指数和、三项指数和、广义k次Gauss和、广义Kloosterman和，每一章均从发展和进程入手，随后针对现有的研究结果，进行了拓展或更具普遍意义的推广．在第2章中，对于不带Dirichlet特征的二项指数和，获得了 时的精确计算公式；对于带Dirichlet特征的二项指数和的四次均值，去除了原有结果中模数为奇数的限制，获得了模数为任意整数时的精确计算公式．在第3章中，分析和讨论了不带Dirichlet特征的三项指数和的四次均值的计算问题，在一定的约束条件下给出了精确的计算公式，揭示均值计算与同余方程组解的组数之间的本质联系．在第4章中，着重分析和讨论了模数为任意Square-full数时推广和式广义k次Gauss和的高次均值的计算问题．此外，在限定条件的情形下，推导了在k取任意值时高次均值的计算公式．在第5章中，针对一类新定义的广义Kloosterman和，探讨了其四次均值的计算问题，获得了适用范围更广的精确计算公式．第6章总结了目前我们所取得的成果，并提出了一些需要进一步探讨的指数和问题．
阅读本书需要具备一定的数论基础．本书适用于数学专业的研究生以及在数论方面有一定基础的本科生，也可供从事数论研究的研究人员参考．
作者在研究过程中，参考、借鉴了大量前人研究成果，在此对分享成果的研究人员表示由衷的敬意和真诚的感谢！
由于作者水平有限，不足之处在所难免，敬请批评指正．
作 者
2020年9月
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