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| 編輯推薦： |
◆版累计销售量超100万册
◆曾荣获首届全国优秀少年儿童科普图书一等奖，第二届全国优秀少年儿童读物三等奖
◆学习在课堂学不好的方法与数学思想
◆教学经验丰富的著名数学特级教师，对中小学数学的“难点”和“亮点”了如指掌。
◆帮小学生的数学完成从0到1，助中学生的数学实现从1到∞
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| 內容簡介： |
《无限中的有限：极限的故事》全书用24篇生动有趣的小故事叙述了有限与无限的辩证关系， 从中可了解数学中极限的概念及运用。“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。极限思想使学生通过无限逼近的方式在有限中认识无限，在近似中认识精确，在量变中认识质变，是小学阶段就需要渗透的数学思想。本书在精彩的故事中让中小学生轻松理解。
书中24篇文章都是由精彩的故事开始，至少对一道经典数学题进行拆解，进而引出数学的基本思想、概念、方法，把数学问题中本质的东西从生动、有趣的故事中演绎出来，让学生能够从中体会到深刻的数学思维过程，引导学生在富有“故事”性的数学问题中学到与课本知识不一样的东西。
故事的引人入胜与数学原理的巧妙结合，会产生一种奇特的反应，让读者在故事的流连忘返中，不知不觉去思考故事背后的原理和奥秘，在数学故事的王国里遨游，有时你自己甚至都没有发现原来你已经深深喜欢上了数学，爱上了它带给你思考的无穷乐趣。更重要的是，书中很多故事和原理都和我们的生活息息相关，不仅可以让我们在思考中享受乐趣，更能体味生活的多姿多彩。学习和生活的结合，本身就是一件可以回味无穷的事。
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| 關於作者： |
张远南，著名数学教育家，数学特级教师，科普作家。曾任北京师范大学兼职教授。曾获苏步青数学教育奖，享受“国务院政府特殊津贴”。
教学经验丰富的著名数学特级教师，对中小学数学的“难点”和“亮点”了如指掌。
作者既有深厚的数学功底，又有开阔的知识视野。他从日常生活、大自然、科学史和人类历史中，“信手拈来”一个个和数学有关的故事。这些生动有趣的故事，揭示出种种数学奥秘，向读者展示广袤而神奇的数学世界，使原本枯燥难懂的数学知识变得摇曳多姿、妙趣横生。
多年来，作者致力于“通过非教学手段实现人类智慧接力棒传递”的创造性探索，取得了积极成果。著有《否定中的肯定：逻辑的故事》《偶然中的必然：概率的故事》《抽象中的形象：图形的故事》《无限中的有限：极限的故事》《未知中的已知：方程的故事》《变量中的常量：函数的故事》。发表各类论文100多篇。
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| 目錄：
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一、 记数史上的繁花 //00
二、 大数的奥林匹克 //00
三、 “无限”的诞生 //0
四、 关于分牛传说的析疑 //0
五、 奇异的质数序列 //0
六、 “有限”的禁锢 //0
七、 康托尔教授的功绩 //0
八、 神奇的无限大算术 //0
九、 青出于蓝的阿列夫家族 //0
十、 令人困惑的“连续统”之谜 //0
十一、 从“蜻蜓咬尾”到“两头蛇数” //0
十二、 斐波那契数列的奇妙性质 //0
十三、 几何学的宝藏 //0
十四、 科学的试验方法 //0
十五、 中国数学史上的牛顿 //0
十六、 实数的逼近 //
十七、 漫话历法和日月食 //
十八、 群星璀璨的英雄世纪 //
十九、 无聊的争论与严峻的挑战 //
二十、 快速鉴定质数的方法 //
二十一、 秘密的公开和公开的秘密 //
二十二、 数格点，求面积 //
二十三、 一个重要的极限 //
二十四、 人类认识的无限和有限 //
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| 內容試閱：
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20世纪伟大的数学家之一，德国的戴维·希尔伯特，曾经把数学定义为“关于无限的科学”。在数学家的眼里，经验的提示并不是数学，只有当经验寓于某种无限之中，才是数学。
“无限”常使人感到迷惘，“有限”却使人觉得实在！人们总把“无限”作为一种特殊性加以看待。其实，这是一种习惯的偏见，“无限”同样有其极为丰富的内涵。借助于康托尔的理论，我们甚至可以比较它们的大小！大多数的“有限”，正因其寓于无限之中而表现出更加充实的含义。诸如，无限过程的有限结果，无限步骤的有限推理，无限总体的有限个体，等等。这种无限中的有限，恰是数学科学的精华所在！
这本书既不打算也不可能对无限的理论做全面的叙述。作者的目的只是希望激起读者的兴趣，并由此引起他们自觉学习这一知识的欲望。因为作者认定，兴趣是好的老师，一个人对科学的热爱和献身往往是从兴趣开始的。然而，人类智慧的传递是一项高超的艺术。从教到学，从学到会，从会到用，又从用到创造，这是一连串极为能动的过程。作者在长期实践中，有感于普通教学的局限和不足，希望能通过非教学的手段，实现人类智慧接力棒的传递。
基于上述目的，作者尽自己的力量完成了这套各自独立的趣味数学读物。
它们是： 《偶然中的必然》《未知中的已知》《否定中的肯定》《变量中的常量》《无限中的有限》《抽象中的形象》。这些书分别讲述概率、方程、逻辑、函数、极限、图形等有趣的故事。作者心目中的读者，是广大的中学生和数学爱好者，他们是衡量本书为精确的天平。
本书中介绍的许多知识曾是数学中极为精彩的篇章。作者力图把这些内容叙述得生动有趣、通俗易懂，但每每感到力不从心。因此，对初学者来说，有些章节可能依然十分深奥。不过，如能多看几遍，定会有收获的！
由于作者水平有限，书中的错误在所难免，敬请读者不吝指出。
但愿本书能为人类智慧的传递铺桥开路！
张远南
2019年12月
“无限”的诞生
“无限”的思想，早萌生于何时何地，如今已难确切查证。然而古希腊学者对于质数无限性的认识，至少已有2300年的历史。一个简 单 而 完 美 的 论 证，载 于 欧 几 里 得 (Euclid，公 元 前330? —前275?)的名著《几何原本》第九卷。
为了让读者一览这位人类智慧巨匠的独特思想，我们引证一段精妙的原文。文中全部用几何的方式表述了一个纯粹数的问题! 其中“测量”一词，即算术中的“除尽”。
质数比任何给定的一批质数都多。假设 A，B，C 是指定的质数;我说除了 A，B，C之外还有其他的质数。事实上，取 A，B，C 所能测量的小数，设它为 DE;把单位DF 加到DE 上。于是EF 或者是质数或者不是。首先，假设 EF 是质数，那么我们已得到了质数 A，B，C，EF，它比质数 A，B，C要多。
其次假设 EF 不是质数，从而它必能被某个质数所测量。假设它能被质数G 测量。我说G 和数A，B，C 都 不 相 同。因 为，如 果 可 能 的 话，假 定 G 和 A，B，C 中 的 某 个 数 相 同。 那 么 由 于 A，B，C 能 测 量DE，所以G 也能测量DE。但G 还能测量EF。所以，
G 作为一个数，它就能测量余数，也就是单位 DF;而这是荒谬的! 所以，G 与 A，B，C 当中的任何一个数都不相同。并且，按照假设，G 是质数。所以我们就找到了质数A，B，C，G，它比给定的一批质数A，B，C 更多。可能读者中有人会提出疑问，欧几里得的证明只提3 个质数，这具有一般性吗? 回答是肯定的! 对多个质数的情形推理完全一样。改为数的表述，即若2，3，5，7，11，…，P 为所有不大于P 的质数，则2×3×5×7×11× … ×P 1=N数 N 要么是质数，要么所有的质因子都大于 P。然而，欧几里得不可能是提出“无限”概念的个人。在
他之前约200年，另一位古希腊学者芝诺(ZenoofElea，约公元前490? —前430?)曾提出一个著名的“追龟”诡辩题。从中我们可以看到，当时人类对“无限”的认识及理解上的局限。
大家知道，乌龟素以动作迟缓著称，阿基里斯则是古希腊传说中的英雄，善跑的神，芝诺断言:阿基里斯与龟赛跑，将永远追不上乌龟!
芝诺的理由是，假定 阿 基 里 斯 现 在 A 处，乌 龟 现 在 T 处。为了赶上乌龟，阿基里斯必须先跑到乌龟的出发点T，当他到达T 点时，龟已前进到 T1 点;当他到达 T1 点时，乌龟又已前进到T2 点，如此等等。当阿基里斯到达乌龟此前到达过的地方，
乌龟已又向前爬动了一段距离。因此，阿基里斯是永远追不上乌龟的! 如图3.1所示。
图 3.1
芝诺的论断 显 然 与 常 理 相 悖。由 于 当 时 人 类 只 有 粗 糙 的“无限”观念，数学家们曾经错误地认为，无限多个很小的量，其和必为无限大。芝诺正是巧妙地钻了这个空子，把有限长的线段分成无限多 个 很 小 线 段 的 和;把 有 限 的 时 间 可 以 完 成 的 运动，分成无限多段很短的时间来完成。芝诺的“追龟”问题，无疑是向当时错误的“无限”观念提出了挑战。数学家们感到数学面临着潜在的危机!后来人们终于弄清楚，要克服上述危机，需要一场观念上的革命。即无限多个很小的量的和，未必是无限大! 无限地累加，
也可能得出有限的结果!
让我们再看 一 看 追 龟 问 题。设 阿 基 里 斯 的 速 度 是 乌 龟 的10倍，龟在前面100 米。当阿基里斯跑了100 米时，龟已前进了10米;当阿基里斯再追10米时，龟又前进了1米;阿基里斯再追1米，龟又前进110米;……于是，阿基里斯追上乌龟所跑的
路程S:(单位:米)
S =100 10 1 110 1010 …
上式右端是无限多个很小量的和，然而它却是有限的! 为了让读者理解这一点，我们先从等比数列的知识讲起。一个数列，从 第 二 项 起，每 项 与 前 一 项 的 比 是 个 定 值 (公图 3.2比)，我 们 就 称 这 个 数 列 为 等 比 数列。例如，在 本 丛 书 《否 定 中 的 肯定》一 册 所 讲 到 的，国 际 象 棋 发 明人印度 宰 相 西 萨 · 班 向 国 王 请 求赏赐的著名问题，依格子顺序所需的麦粒 数，便 是 一 个 等 比 数 列 (见图3.2):（未完待续）
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