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| 編輯推薦： |
◆版累计销售量超100万册
◆曾荣获首届全国优秀少年儿童科普图书一等奖，第二届全国优秀少年儿童读物三等奖
◆学习在课堂学不好的方法与数学思想
◆教学经验丰富的著名数学特级教师，对中小学数学的“难点”和“亮点”了如指掌。
◆帮小学生的数学完成从0到1，助中学生的数学实现从1到∞
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| 內容簡介： |
《否定中的肯定：逻辑的故事》全书用24篇生动有趣的小故事介绍二进位制、逻辑以及有关代数等知识。寓数学知识于趣味之中。主要目的是提高中学生学习数学的兴趣，加深和扩展中小学数学课堂知识。本书可供中小学生、中学数学教师以及广大数学爱好者阅读。本书的特色是每篇都是由精彩的故事引入数学的基本思想、概念、方法，语言活泼流畅，趣味十足，让人印象深刻。
数学本质上就是逻辑，分析必须细致，论证务求严谨。切勿用感知替代分析，用列举充当论证。巧妙的演绎推理工具，归纳和类比逻辑推理，《否定中的肯定：逻辑的故事》在故事中讲解逻辑，教学生如何“清晰思考”。
每篇文章都是由精彩的故事开始，至少对一道经典数学题进行拆解，进而引出数学的基本思想、概念、方法，把数学问题中本质的东西从生动、有趣的故事中演绎出来，让学生能够从中体会到深刻的数学思维过程，引导学生在富有“故事”性的数学问题中学到与课本知识不一样的东西。
故事的引人入胜与数学原理的巧妙结合，会产生一种奇特的反应，让读者在故事的流连忘返中，不知不觉去思考故事背后的原理和奥秘，在数学故事的王国里遨游，有时你自己甚至都没有发现原来你已经深深喜欢上了数学，爱上了它带给你思考的无穷乐趣。更重要的是，书中很多故事和原理都和我们的生活息息相关，不仅可以让我们在思考中享受乐趣，更能体味生活的多姿多彩。学习和生活的结合，本身就是一件可以回味无穷的事。
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| 關於作者： |
张远南，著名数学教育家，数学特级教师，科普作家。曾任北京师范大学兼职教授。曾获苏步青数学教育奖，享受“国务院政府特殊津贴”。
教学经验丰富的著名数学特级教师，对中小学数学的“难点”和“亮点”了如指掌。
作者既有深厚的数学功底，又有开阔的知识视野。他从日常生活、大自然、科学史和人类历史中，“信手拈来”一个个和数学有关的故事。这些生动有趣的故事，揭示出种种数学奥秘，向读者展示广袤而神奇的数学世界，使原本枯燥难懂的数学知识变得摇曳多姿、妙趣横生。
多年来，作者致力于“通过非教学手段实现人类智慧接力棒传递”的创造性探索，取得了积极成果。著有《否定中的肯定：逻辑的故事》《偶然中的必然：概率的故事》《抽象中的形象：图形的故事》《无限中的有限：极限的故事》《未知中的已知：方程的故事》《变量中的常量：函数的故事》。发表各类论文100多篇。
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| 目錄：
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一、 从“人机之战”谈起 //00
二、 演绎的科学 //00
三、 勒让德教授的失误 //0
四、 几何王国的孪生三姐妹 //0
五、 否定中的肯定 //0
六、 异曲同工的证明方法 //0
七、 维恩的图形推理法 //0
八、 智力游戏的间接推理 //0
九、 巧解逻辑难题 //0
十、 尝试——经验与信念的支柱 //0
十一、 步向真理的阶梯 //0
十二、 数学史上亘古未有的奇迹 //0
十三、 “外星人”的算术 //0
十四、 魔术“猜姓”的科学原理 //
十五、 火柴游戏的决胜奥秘 //
十六、 布尔先生的命题代数 //
十七、 太极八卦与命题简化 //
十八、 思维机器的“脑细胞” //
十九、 开关电路与自动装置 //
二十、 人脑与电脑，思路与程序 //
二十一、 神奇的射流技术 //
二十二、 错觉的漩涡 //
二十三、 识别伪科学 //
二十四、 数学家和数学思维 //
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| 內容試閱：
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分析必须细致，论证务求严谨。用感知替代分析，用列举充当论证，这是思维的贫乏，初学的通病。
逻辑一词译自英语logic，源自希腊文logos，本义为思想、思维、理性、言语。现代逻辑一词是多义性的，它既代表思维的规律性，又代表思维形式及其规律性的科学，还引申表示客观的规律。
推理是从未知到已知的合乎逻辑的思维过程。数学的推理与逻辑之间有着千丝万缕的关系，以至于有不少人认为数学便是逻辑。数学与逻辑之间的这种密切关系，可以追溯到相当久远的年代。
在两千多年前的古希腊，以德谟克利特为代表的唯物主义思想家和以柏拉图、亚里士多德为代表的唯心主义思想家之间的相互辩难和争论，无疑对古希腊数学的高度发展起到了推动作用。逻辑学的发展，把数学知识按假设演绎的方法严格加以整理，终于诞生了具有划时代意义的不朽巨著，欧几里得的《几何原本》。
本书并不打算也不可能对数学逻辑和推理的理论作完整的叙述。作者的目标只是想激发读者的兴趣，并由此引起他们学习这门知识的欲望，因为作者认定： 兴趣是好的老师，一个人对科学的热爱和献身，往往是从兴趣开始的。然而人类智慧的传递，是一项高超的艺术。从教到学，从学到会，从会到用，从用到创造，这是一连串极为能动的过程。作者
在长期实践中，深感普通教学的局限和不足，希望能通过非教学的手段，尝试人类智慧的传递和接力。
基于上述目的，作者尽自己的力量完成这套各自独立的趣味数学读物，
它们是： 《偶然中的必然》《未知中的已知》《否定中的肯定》《变量中的常量》《无限中的有限》《抽象中的形象》。分别讲述概率、方程、逻辑、函数、极限、图形等有趣的故事。
作者心目中的读者，是广大中学生和数学爱好者，他们应该是衡量本书为精确的天平。
由于作者水平有限，书中缺点、错误在所难免，敬请读者不吝指出。
这本书所要讲述的内容，是人类知识的一笔巨大财富。在逻辑问题中，有许多趣闻、难题、技巧和引人入胜的东西，它需要读者反复琢磨，才能领会其中的奥妙，并因此感受到无穷的乐趣。作者希望这本书能够把读者引进人类智慧的这一宝山。
但愿读者不至于入宝山而空返！
张远南
2019年12月
否定中的肯定
这是一个有趣的智力游戏。
老师为了测试甲乙丙丁四名学生的分析推理能力，拿了五顶式样相同的帽子给他们看，并强调说:“这里有两顶白帽，一顶红帽，一顶黄帽，一顶蓝帽”。接着他让四人依序坐在四级台阶上，然后叫他们闭上眼睛，又替每人戴上一顶帽子。后，他让学生们张开眼睛，并判断自己头上戴的帽子是什么颜色。
结果是出人意外的。虽说坐在后面的人看得见前面的人所戴帽子的颜色，但甲、乙、丙三人看了看并想了想，都摇头说猜不出来。某丁坐在前面，他看不到别人的帽色，但此时却 发话了，说他业已猜到自己所戴的帽子颜色。
丁是如何断定自己的帽色呢? 可能聪明的读者已经猜出了游戏的谜底。其实某丁的判断并不难，他是这样思考的:
“某甲得天独厚坐得，能看到其余三人的帽子，他为什么说猜不出来呢? 肯定他看到了前面有人戴着白帽。因为假如前面的人都戴杂色帽的话，那么他就能猜出自己所戴的是非白帽而莫属了。再说某乙，她可是个聪明人，某甲的想法，她自然了如指掌。那么她为什么也说猜不到呢? 一定是她也看到了前面有人戴着白帽。不然的话，她就会从某甲的态度和其他人的帽色，判断自己戴着白帽。后说某丙，她的智商绝不比某乙低，可她为什么也说猜不到呢! 理由只能是一个，就是她看到了我头上戴着白帽。”
就这样，某丁从众人的否定中对自己的帽色作了肯定!
上面的游戏可以推广到多个人，但杂色帽要比人数少一，而白幅则至少两顶。推理的方法是一样的。只是无论结论是肯定的还是否定的，思维都必须符合一定的规律。
逻辑思维的基本规律是什么呢? 总的说有以下三条:
(1)同一律:即思维应自始至终保持统一;
(2)矛盾律:即思维中两个相反或不相容的判断不能都真。
(3)排中律:在思维过程中，对一个逻辑上的判断，要么肯定，要么否定，非假即真。
以上三条规律，从不同角度对人类正确思维的一贯性、确定性和无矛盾性提出要求。
要指出的是:有不少人以为，由“是”与“不是”构成的句子一定是相反的判断。假如其中有一句是正确的，那么另一句就一定不正确。实际上这种看法未必都对。以下的“阿契贝难题”，可能会使你感到惊讶不已!
阿契贝喜欢研究形式逻辑，有一次他遇到下面的两句话:
“××是○○○”
“××不是○○○○”
这两句中，每句前面的“××”表示相同的词，后面的“○○○”也表示相同的词。它们的区别仅在于中间的“是”与“不是”。然而，两句却都是正确的! 可能有些读者会感到不可思议，其实这是由于脑中过分萦绕着“A不等于非A”这类形式逻辑观点的缘故。但是，如果两句话主语用词虽则相同而所代表的内容却不一样的话，那么即使表语一样，也未必会出现逻 辑上的矛盾。例如:
“本句是六字句。”“本句不是六字句。”
这是阿契贝难题的一种解答。两句中，前一句与后一句的主语“本句”，其包含的内容是不相同的。
下面的故事将帮助你进一步熟悉逻辑思维的规律。
老虎占山为王，号令百兽。
一天，老虎肚子饿了，想变换花样搞点动物吃吃。于是召来小鹿、狐狸、兔子和猴子，要大家说说他嘴里的气味，以考察他们的忠诚。
梅花鹿首先被指定回答，他据实禀报，说老虎王口臭很重，结果以“诽谤”罪名被杀。狐狸见势不妙，立即拍了一个溜须马屁，说是虎大王金口不仅不臭，而且飘香万里。不料老虎却不买这个帐，公然承认自己爱吃肉，嘴里不可能是香的。狐狸终于也被杀。兔子胆颤心惊，两眼出血。他吸取前车之鉴，诚惶诚恐地禀报:“陛下之口很难说是臭还是不臭。”老虎听了，勃然大怒，说是决不允许骑墙折衷者留存世间! 后轮到猴子，猴子挠了挠后脑，毕恭毕敬地走到老虎面前说:“大王，我近有点感冒，鼻子不通，如能让我回去休养几天，等鼻子通了，我就能准确说出大王嘴里的味道。”老虎词穷，只好放走猴子。猴子自然乘机逃之夭夭。
故事到此为止，请读者用逻辑观点分析一下，为什么梅花鹿、狐狸和兔子都没能逃脱厄运，而唯独猴子却能转危为安? 猴子的话有没有违背排中律? 我相信，这些问题将会伴随你度过一个愉快的夜晚!
有时人们从一些貌似正确可以接受的约定出发，经过简明而正确的推理，竟然会得出自相矛盾的结论。这样的议论称为悖论。“悖”就是混乱、冲突的意思。例如给定一个命题A，同时会有:
A→B
A→B?
这里 B与 B? 同时为真，这是违背逻辑规律的。
悖论在日常生活中并不少见。某图书馆为了方便读者，将本馆藏书每册一号，编成一本“目录”。现在问:这本“目录”本身是否编入目录中? 回答可能会很使你为难。
古希腊是一个充满神话的国家。有这么一个传说:一条鳄鱼从一位母亲手里抢走了一个小孩。鳄鱼想吃掉这个小孩，又希望名正言顺，于是自作聪明地对这位母亲说:
“我会不会吃掉你的孩子? 如果你答对了这个问题，我将把孩子不加伤害地还给你。”
这位母亲思虑片刻回答道:
“呵! 呵! 你要吃掉我的孩子的。”
这一来，贪婪的鳄鱼遇到了难题:“说孩子母亲回答的不对吧，那么我就可以吃 掉 她 的 孩 子，但 她 明 明 说 我 要 吃 掉 她 的 孩子，这岂不又成对了吗? 如果说她回答是对的，这就是说我要吃掉她的孩子，但我又必须把孩子不加伤害地还她! 天哪! 这该怎么办?!”
笨拙的鳄鱼给弄懵了，为了假惺惺表示尊重诺言，只好把孩子还给了这位机智的母亲。
悖论渊源于相当久远的年代。著名的“说谎者”悖论出现于公元前六世纪。大意是:克利特岛上的E先生说:“克利特岛上的人是说谎者 ”。不难发现，无论怎样回答都将出现矛盾。
在近代数学中有影响的是所谓“罗素悖论”。公元1902年，英国数学家罗素(Russell，1872~1970)针对集合论初创时期基础理论不够完善，提出以下著名的议论:
“把所有集合分为两类，类中的集合以其自身为元素，第二类中的集合不以其自身为元素。假令类集合所组成的集合为P，第二类集合所组成的集合为Q，于是有
P={A|A∈A}
Q={A|A?A}
问:集合Q是属于类集P呢? 还是属于第二类集Q?”
从逻辑上讲，这个问题的回答只能是“Q∈P”或“Q∈Q”两种，二者必居其一。然而无论哪种回答都会引申相反的结论。
悖论的产生，在逻辑上，违背了人类正确思维所应遵循的基本规律。对素以严谨著称的数学，悖论自然不能永久允许。但它却可以促使数学家们去进行严肃的思考，并寻找那导致悖论的原因，从而创造出一个至少在逻辑上完美协调、无懈可击的科学理论。
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