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| 編輯推薦： |
◆版累计销售量超100万册
◆曾荣获首届全国优秀少年儿童科普图书一等奖，第二届全国优秀少年儿童读物三等奖
◆学习在课堂学不好的方法与数学思想
◆教学经验丰富的著名数学特级教师，对中小学数学的“难点”和“亮点”了如指掌。
◆帮小学生的数学完成从0到1，助中学生的数学实现从1到∞
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| 內容簡介： |
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《未知中的已知：方程的故事》全书24篇文章，每篇文章都是由精彩的故事开始，至少对一道经典数学题进行拆解，进而引出方程的基本思想、概念、方法，把方程中本质的东西从生动、有趣的故事中演绎出来，让学生能够从中体会到深刻的数学方程思维过程，引导学生在富有“故事”性的数学问题中学到与课本知识不一样的东西。 方程的思想来源于人们的生活现实。“为了结识一位未知的先生，我们通过熟人作为中介进行介绍，借助这层关系得以认识这位不熟悉的先生。”得“方程”者得天下，具备方程思维的学生会把抽象的数学转化成符号运算，具有强有力的解题能力。 故事的引人入胜与数学原理的巧妙结合，会产生一种奇特的反应，让读者在故事的流连忘返中，不知不觉去思考故事背后的原理和奥秘，在数学故事的王国里遨游，有时你自己甚至都没有发现原来你已经深深喜欢上了数学，爱上了它带给你思考的无穷乐趣。更重要的是，书中很多故事和原理都和我们的生活息息相关，不仅可以让我们在思考中享受乐趣，更能体味生活的多姿多彩。学习和生活的结合，本身就是一件可以回味无穷的事。
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| 關於作者： |
张远南，著名数学教育家，数学特级教师，科普作家。曾任北京师范大学兼职教授。曾获苏步青数学教育奖，享受“国务院政府特殊津贴”。
教学经验丰富的著名数学特级教师，对中小学数学的“难点”和“亮点”了如指掌。
作者既有深厚的数学功底，又有开阔的知识视野。他从日常生活、大自然、科学史和人类历史中，“信手拈来”一个个和数学有关的故事。这些生动有趣的故事，揭示出种种数学奥秘，向读者展示广袤而神奇的数学世界，使原本枯燥难懂的数学知识变得摇曳多姿、妙趣横生。
多年来，作者致力于“通过非教学手段实现人类智慧接力棒传递”的创造性探索，取得了积极成果。著有《否定中的肯定：逻辑的故事》《偶然中的必然：概率的故事》《抽象中的形象：图形的故事》《无限中的有限：极限的故事》《未知中的已知：方程的故事》《变量中的常量：函数的故事》。发表各类论文100多篇。
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| 目錄：
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一、 王冠疑案的始末 //00
二、 《王冠疑案》之疑 //00
三、 丢番图和勾股数 //0
四、 悬赏10万马克的问题 //0
五、 架设通向已知的金桥 //0
六、 一场震动数学界的论战 //0
七、 死后方得荣誉 //0
八、 数学史上的灿烂双星 //0
九、 发现解析法的初线索 //0
十、 解开几何三大作图问题之谜 //0
十一、 走出圆规和直尺管辖的国度 //0
十二、 揭开虚数的神秘面纱 //0
十三、 神奇的不动点 //0
十四、 库恩教授的盆栽艺术 //0
十五、 从弹子游戏的奥秘谈起 //0
十六、 容器倒来倒去的启示 //
十七、 点兵场上的神算术 //
十八、 数学王国的巾帼英雄 //
十九、 晶体·平面均匀镶嵌 //
二十、 数学世界的“海市蜃楼” //
二十一、 47年与17秒 //
二十二、 稳操胜券的对策游戏 //
二十三、 奇特的正方分割 //
二十四、 献给学生也献给教师 //
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| 內容試閱：
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我们的世界充满着未知，这种未知以极强的诱惑力，引
导着人类去探索、进取。
在数学中，形形色色的方程，无疑是自然界简明的、
“未知”的表示方式。在数千年漫长的历史长河中，人类用自
己的智慧，开辟了无数从未知通向已知的路，使巍峨的代数
学宫殿显得更加金碧辉煌！
对于年轻一代，古老的方程理论，仍不失是科学大厦的
基石。然而本书没有打算也不可能对此做完整的论述，
那是教科书的任务。本书的目标，只是想激发读者的兴趣，
并由此引起他们自觉学习这一知识的欲望。因为作者认定，兴
趣是好的老师，一个人对科学的热爱和献身往往是从兴趣
开始的。然而人类智慧的传递，是一门高超的艺术。从教到学，
从学到会，从会到用，又从用到创造，这是一连串极为能动
的过程。作者在长期的实践中，深感普通教学的局限和不足，
希望能通过非教学的手段，实现人类智慧接力棒的传递。
基于上述目的，作者尽自己的力量完成了这套各自独
立的数学读物，它们是： 《偶然中的必然》《未知中的已知》
《否定中的肯定》《变量中的常量》《无限中的有限》《抽象中的形象》，其分别讲述概率、方程、逻辑、
函数、极限、图形等有趣的故事。作者心目中的读者，是广大的中学生和数学爱好
者，他们是衡量本书优劣为精准的天平。
由于作者水平有限，书中的错误在所难免，敬请读者批
评指出。
但愿本书能为滋润智慧，充当雨露！
张远南
2019年12月
丢番图和勾股数
古往今来，大概只有数学家的墓志铭为言简意赅。他们的墓碑上往往只是刻着一个图形或写着一个数，但这些形和数，却代表了他们一生的执着追求和闪光的业绩。
在“一、王冠疑案的始末”中的那个古希腊数学家，阿基米德的墓 碑 上 刻 着 一 个 圆 柱，圆柱里 内 切 着 一 个 球，这 个 球的直 径 恰 与 圆 柱 的 高相 等。这个图形表达了阿基米德的如下发现:球的体积和表面积都等于它外接圆柱体体积和表面积的2/3。由 此 容 易推得一个半径为R 的球体的体积V 和表面积S 的公式
V =34πR3
S =4πR2
令人难以置信的是，这个竖立于叙拉古的阿基米德墓碑，不是由阿基米德的朋友修建的，而是由敬畏他的敌人也就是那个围攻叙拉古的罗马军队统帅马塞拉斯修建的。1610年，荷兰人鲁道夫范·科伊伦·(LudolphvanCeulen，1540—1610)把π算到了小数点后面35 位，这是当时的世界纪录。他感到自己不虚此生，于是留下遗言，要后人把 π的35位小数刻在他的墓碑上。
17世纪瑞士的著名数学家雅各·伯努利(JacobBernoulli，1654—1705)，在数学的许多分支都有过重要的贡献，尤其醉心于对数螺线的美妙性质。他在临终前特地叮嘱，要求将一正一反的两条对数螺线刻在他的墓碑上，并附以简洁而又含义双关
的墓志铭:“我虽然变了，但却和原来一样!”
在众多数学家的墓志铭中，被誉为“代数学鼻祖”的丢番图的墓志铭，可算是 一 个 例 外。 丢 番 图 (Diophantus，246—330)是 3 世 纪 亚 历 山 大 里 亚 城人，他的名著《算术》对后世影响极大，是一部可与欧几里得(Euclid，约公元前 330—前 275)的《几 何原本》相媲美的代数学的早论著。丢番图的墓碑文是很奇特的，用一种未知的方式写出了已知的一生:
“过路人! 这儿埋着丢番图的骨灰，下面的数字可以告诉你他活了多少岁。
“他生命的1/6是幸福的童年。
“再活1/12，颊上长出了细细的胡须。
“又过了生命的1/7他才结婚。
“再过了5年他感到很幸福，得了一个儿子。
“可是这孩子光辉灿烂的生命只有他父亲的一半。
“儿子死后，老人在悲痛中活了4年，结束了尘世生涯。
“请问:丢番图活了多少岁? 几岁结婚，几岁生孩子?”
这段散发着代数芳香的碑文，是历史留给后人关于这位学者生平的信息。根据这一信息我们可以列出方程x6 x12 x7 5=x2 -4
解得x=84。即丢番图享年84岁，他33岁结婚，38岁得子。尽管人们对丢番图的生平知之不多，但对他的学术造诣却颇为了解。尤其丢番图关于二次不定方程的巧妙解答，更使后人叹为观止。下面讲的勾股数组便是其中一例。大家知道，我国是世界上早发现勾股定理的国家。早在公元前1100年，我国劳动人民就已掌握
了勾三、股四、弦五的规律，在两千年前成书的《周髀算经》中，记载了那时周公
与商高 的 一 段 有 趣 对 话。 书 中 还 有 一张勾股定理证明图(图3.1)，叫“弦图”。勾股定理的一般表述是:假设x、y是一个直角三角形的两条直角边长，z 是斜边长，那么这3个数必须满足
x2 y2 =z2
西 方 早 发 现 这 个 定 理 的，是 古 希 腊 的 毕 达 哥 拉 斯
(Pythagoras，约公元 前 580—前 500)。他 除 证 明 以 外，还 找 到了如下求勾股数组的式子: 后来另一个古希腊著名学者柏拉图(Plato，公元前427—前
347)也给出了类似的式子。丢番图发现，无论是毕达哥拉斯还是柏拉图的式子，都没能给出全部勾股数组，例如8，15，17就不在毕达哥拉斯的式子中。
于是丢番图致力于寻求构造勾股数的一般法则。丢番图找到的这种法则是:若a、b 是两个正整数，且2ab 是完全平方，则
x =a 2ab
y=b 2ab
z=a b 2ab
是一组勾股数。
丢番图究竟怎样找到这些式子，我们今天无从得知，但读者完全可以验证它们满足方程
x2 y2 =z2
用丢番图的方法，我们可以得到前面的几组勾股数(表3.1)。表3.1 几组勾股数
a b x2 y2=z2
1 2 32 42=52
1 8 52 122=132
2 4 62 82=102
1 18 72 242=252
2 9 82 152=172
3 6 92 122=152
1 32 92 402=412
2 16 102 242=262
? ? ?
丢番图的功绩在于，他所找到的式子包含了全部的勾股数组。值得一提的是，与丢番图同时代的我国魏晋时期数学家刘徽，用几何的方法找到了以下求勾股数组的公式:
x =uv
y=21(u2 -v2)
z=21(u2 v2)
u、v 为同奇偶的 正数;且u >v
这一结论载于263年刘徽对一部古籍算书的注释本中。这是迄今为止人们对于勾股数组的为完美的表示之一。久远的年代，往往使事件笼罩上一层神秘的色彩。70多年前的1945年，人们惊奇地发现了一份古巴比伦人的数学手稿。
据考证，其 年 代 远 在 商 高 和 毕 达 哥 拉 斯 之 前，大 约 在 公 元 前
1900—1600年。手稿中令人难以置信地列出了以下15组勾股
揭开虚数的神秘面纱
历史表明，人类接受一种新数的过程是漫长而坎坷的。
正数，负数，有理数，无理数。
在欧洲，负数的概念迟至12世纪末，才由意大利数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，约1170—约1250）做出正确的解释。但直到18世纪，欧洲仍有一些学者认为负数是“荒唐、无稽的”。他们振振有词地说，零是“什么也没有”，那么负数，即小于零的数是什么东西呢？难道会有什么东西比“什么也没有”还要小吗？！
无理数的出现，可以追溯到相当久远的年代。大约公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的门人希帕斯发现，等腰直角三角形的斜边与直角边的比不可能表示为既约分数（即几何上的“不可公度”）。
希帕斯的思路说来也简单，他采用了“反证法”，即先假设
能表示为既约分（即p，q没有公因子），然后设法推出矛盾。过程如下：
显然，p必须是偶数，否则左式绝不等于右式。现令p=2p′（p′为整数），代入得
这意味着q也必须是偶数，否则右式绝不等于左式。这样，p与q便至少有一个2的公因子，它与
为既约分数的假设矛盾。为什么会出现矛盾呢？原因只能是一个，那就是初关于可以表示为既约分数的假设是不对的。希帕斯的证明引起了毕达哥拉斯学派的恐慌，因为这个学派抱定“两条线段一定可以公度”的教义，他们宁可拒绝真理，也不愿放弃错误的信条，他们容不得希帕斯这样的“异端邪说”。可怜的希帕斯终于被毕达哥拉斯学派的忠实门徒，抛进大海喂了鲨鱼。
人类认识无理数的过程，要比想象的更加漫长和曲折。从希帕斯起至基础理论基本完成止，整整经历了20多个世纪。从“无理数”这3个字的含义，就足以表明人类接受这一概念的艰辛。
正当人们依旧困惑于负数和无理数的时候，又一种披着极为神秘面纱的新数，闯进了数学领地。平方等于-1的复数i的诞生1484年，法国数学家N.许凯（N.Chuquet，1445—1500）在一本书中，把方程4 x2=3x的根写为
尽管他一再声明这根是不可能的，但毕竟是次形式上出现了负数的平方根。这种情形对于今天的初中学生，依然是一个望而生畏的禁区。1545年，意大利数学家卡尔达诺在讨论是否有可能将10分为两个部分，而使两者之积等于40时，他指出，尽管这个问题没有实数解，然而，假如把答案写和这样两个令人诧异的表达式，就能满足题目的要求。他验证说：
虽然卡尔达诺本人怀疑这一运算的合理性，但他终究是个认真对待数学领地这一不速之客的勇士。卡尔达诺之后，数学家们接触这种“虚幻”的数越来越多。大约100年之后，1637年，笛卡儿在他的《几何学》一书中，给负数的平方根起了一个“虚数”的名。
又大约过了140年，大数学家欧拉开始用i（imaginary虚幻）表示
1801年，高斯系统地使用了符号i，并把它与实数的混合物a bi（a、b为实数）称为复数。此后i与复数便渐渐通行于全世界。起初虚数总给人以一种虚无缥缈的神秘感，因为在数轴上找不到它的位置。富有想象力的英国牛津大学教授约翰·沃利斯(John Wallis)，给虚数找到了一个绝妙的解释： 假定某人欠地10亩，即他有-10亩地，而这-10亩地又恰好是个正方形，那么它的边长不就是了吗？大胆揭开虚数神秘面纱的，是挪威测量学家韦塞尔（Wessel，1745—1818），他找到了复数的几何表示法。按韦塞尔的解析，一个复数如4 3i，可以如下图那样表示出来，其中4是水平方向的坐标，3是垂直方向的坐标。实数对应于横轴上的点，纯虚数对应于纵轴上的点。
一个位于横轴上的实数a，当它乘以i时变成位于纵轴上的纯虚数ai。在几何上这相当于绕原点沿逆时针方向旋转90°。如果把ai再乘i，即又沿逆时针方向转90°，此时理应转回到横轴负向，这一点在下式中表示得更为明显：
有趣的是，一个数乘i，相当于绕原点沿逆时针方向转90°，这一规律，适用于所有的复数。
由于A、B分别对应于复数4 3i和-3 4i，从而∠AOB=90°。
复数在荒岛寻宝上的应用
下面是一则扣人心弦的荒岛寻宝的故事，读完之后读者将会看到，一旦复数在几何上有了立足点，它将是多么有用。从前，有个年轻人在曾祖父的遗物中偶然发现一张羊皮纸，纸上指明了一座宝藏，羊皮纸内容是这样的： “乘船到北纬××，西经××，即可找到一座荒岛。岛的北岸有一大片草地。草地上有一棵橡树和一棵松树，还有一座绞架，那是我们过去用来吊死叛变者的。从绞架走到橡树，并记住走了多少步； 到了橡树向右拐个直角再走同样步数，在这里打个桩。然后回到绞架那里，再朝松树走去，同时记住所走的步数； 到了松树向左拐个直角再走这么多步，在那里也打个桩，在两个桩的正中挖掘，就可以得到宝藏。”
年轻人欣喜万分，决心冒险一试，于是急忙租了一条船，载着满腔的希望驶到了荒岛。上岛之后我们年轻的冒险家立时陷入绝望之中。他虽然找到了橡树和松树，但绞架却不见了！长时间的雨淋日晒，绞架已经腐烂成土，一切痕迹都已不复存在。年轻人气恼地在岛上狂掘一阵，然而一切均属徒劳，终于两手空空，扫兴而归。这是一个令人伤心的故事。因为，如果这个年轻人懂得一点数学，特别是虚数的话，他本来是有可能找到宝藏的！下面我们来帮帮这个可怜的年轻人，尽管此时此刻对于他已经为时太晚。
如上图所示，把荒岛看成一个复数平面，以两棵树所在的直线为实轴。过两树中点O，作与实轴垂直的直线OY为虚轴，而且以两树M、N之间距离的一半为长度单位。这样橡树M和松树N则分别位于实轴的 1与-1点。假设未知的绞架位置在Z点处，相应的复数为Z=a bi既然绞架在Z点，松树N在-1点，则两者相对的方位便是Z-（-1）=Z 1。把这个数乘以i，就得到桩Z2的复数同理可得桩Z1的复数（右拐90°相当于乘以-i）：
宝藏在两根桩的正中，因此它所在位置的复数T为这就是说，不管绞架位于何处，宝藏总在虚轴上相应于复数i的那一点。读者若不信，可以自己拿张纸，变换几个绞架的位置，试试看会有什么结果。荒岛寻宝的故事已经结束，尽管故事中的情节可能是虚构的，但沿着-1平方根建立起来的复数体系，的确帮助人们在数学和其他科学领域中，找到一个又一个的宝藏。
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