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| 內容簡介： |
《网格作图与计算》一书将近几年各地的中考题、模拟题及各类考试题中的网格作图题和计算题进行分类，并对每类题进行了解法研究。书中所选题目不论是例题还是习题，都是由易到难，既有应知应会的基础题，又有极具挑战性的能力提升题，使不同层次的学生学习后都有所收获。
该书按章节设计，尽量与教材同步，便于学生平时学习使用。从七年级开始就接触网格作图和网格中的计算，减少毕业复习的压力，用三年的时间研究网格作图与计算，肯定要比用九年级最后一个学期再研究它的效果好。
本书解决了学生长期没有“网格作图与计算”相关辅导书的难题，应是每位学生都需要的书。本书为学校数学兴趣小组提供了一套很好的学习教材，同时也为教师提供了很好的教学参考书，应是教师教学的好助手！
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| 目錄：
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目 录
第 一 章 几 何 图 形 初 步 1
1.1 线段和最小的作图(一) 1
1.2 角的大小比较 3
第 二 章 相 交 线 与 平 行 线 5
2.1 作已知线段的平行线 5
2.2 作已知线段的垂线 8
2.3 与图形的面积有关的作图和计算 11
第 三 章 三 角 形 15
3.1 作三角形的高 15
3.2 作三角形的中线(作线段的中点) 18
3.3 与三角形面积有关的作图 20
3.4 三角形的角的计算 24
3.5 作不同形状的三角形 27
第 四 章 全 等 三 角 形 30
4.1 作两角相等 30
4.2 作全等的三角形 35
第 五 章 轴 对 称 38
5.1 作轴对称和轴对称图形 38
5.2 作等腰三角形 42
5.3 作线段的垂直平分线 45
5.4 线段和最小的作图(二) 48
5.5 AP kBP 最小值的作图 52
第 六 章 勾 股 定 理 55
6.1 线段的作图与计算 55
6.2 直角三角形的判定 59
第 七 章 平 行 四 边 形 62
7.1 利用平行四边形的性质作图 62
7.2 作平行四边形和特殊的平行四边形 66
7.3 利用三角形的两个重要性质作图 70
7.4 平行四边形中面积的作图 73
第 八 章 相 似 三 角 形 77
8.1 等分线段 77
8.2 作相似三角形 81
第 九 章 旋 转 85
9.1 图形的旋转作图 85
9.2 作中心对称和中心对称图形 89
第十章 圆 93
10.1 作圆的圆心 93
10.2 作两弧相等 96
10.3 作一个角等于特定的值 99
10.4 两角相等及角的倍分关系的作图 102
10.5 圆中切线的作图 106
10.6 与内心和内切圆有关的作图 110
10.7 圆中线段和最小的作图 114
10.8 圆中线段相等的作图(一) 118
10.9 圆中线段相等的作图(二) 122
10.10 圆中线段最值的作图 126
10.11 圆中与面积有关的作图 130
10.12 圆 中AP kPB 最小值问题的作图 134
10.13 在圆中作等边三角形 138
10.14 对称中隐圆问题的作图 140
10.15 圆中旋转的作图 143
第 十 一 章 锐角三角函数的求值问题 146
参 考 答 案 149
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| 內容試閱：
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第一章 几何图形初步
1.1 线段和最小的作图(一)
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名师视频讲解
一 、解题依据
两点之间，线段最短.
二、典例精讲
◎ 例 1 如图1.1-1，已知A，B，C，D 是正方形网格纸上的四个格点，根据要求在网格中
作图并标注相关字母.
(1)作线段AB;
(2)作直线AC;
(3)作射线 BC;
(4)在直线AC上找一点P， 使得 PB PD的值最小.
图1.1-1
【作法】 如图1.1-2.(1)用直尺连接点A，B，线段AB 即为所求.
(2)连接AC并向两端延长，直线AC 即为所求.
(3)连接 BC 并延长，射线 BC 即为所求.
(4)连接AC和BD，两条直线交于点 P， 点 P 即为所求.
【理由】 因为两点之间，线段最短，所以当点P，B，D 在同一条直线上时，PB PD的值最
小，所以 P是AC，BD的交点.
【点评】 两点之间，线段最短.对于两条线段之和最小问题常转化为两点间的线段，再根 据题中的条件定出要画点的位置.
◎ 例 2 如图1.1-3，在小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B， C，D 均在格点上.请用直尺按要求完成作图并回答问题.
(1)分别作线段AB，直线 BD，射线DC，并说明依据；
(2)在图中找一点P， 使PA PB PC PD的值最小，并说明依据.
2| 专项突破·初中数学网格作图与计算
图1.1-3
图1.1-4
【解】 如图1.1-4.(1)线段AB，直线BD， 射线DC 即为所求；依据：线段有两个端点，不能 向两端无限延伸；直线没有端点，向两端无限延伸；射线只有一个端点，向另一端无限延伸.
(2)点P 即为所求；依据：两点之间，线段最短.
【理由】 使PA PB PC PD的值最小，就是PA PD的值与PB PC 的值都最小，点P 应在 AD上和BD上，所以P 是 AD，BC的交点.
【点评】 对于找一点使它到四点的距离和最小问题，这个点就是以四个点为顶点的四边 形的对角线的交点.
三、方法归纳
1.两点之间，线段最短.对于两条线段之和最小问题常转化为两点间的线段，再根据题中
的条件定出要作点的位置
2.对于找一点使它到四点的距离和最小问题，这个点就是以四个点为顶点的四边形的对 角线的交点.
四、同步精练
1.如图，已知A，B，C，D 是正方形网格纸上的四个格点，根据要
求在网格中作图并标注相关字母.
(1)作线段AB;
(2)作直线AC;
(3)在直线AC上找一点P， 使得PB PD 的值最小.
2.如图，点A，B，C，D 在正方形网格的格点上，每个小方格的边 (第1题)
长都为单位长度1.请按下述要求作图并回答问题.
(1)作线段AB， 射线AD， 直线CD;
(2)在图中找一点P， 使点P 到 A，B，C，D 四点的距离和最小，作图依
据是_
(3)四边形ABCD的面积是
(第2题)
第一章几何图形初步
1.2 角的大小比较
一、解题依据
1.叠合法：如图1.2-1，把要比较大小的两个角叠合在一起，使两个角的顶点及一边重合， 另一边落在重合的这条边的同一旁，若另一边重合，则这两个角相等；若不重合，则另一边落在
外面的角大.
∠AOB<∠A‘O∠’B‘AOB=∠A’O‘B’
图1.2-1
∠AOB>∠AO‘B’
2.平角等于180°.
二、典例精讲
②例 1 图1.2-2是正方形网格，则∠AOB (填“>”“=”或“<”)∠MPN，
图1.2-2
图1.2-3
【解】 如图1.2-3，因为∠COD=∠MPN，而∠COD=∠AOB，因此∠AOB=∠MPN.
◎ 例 2 在如图1.2-4所示的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，O 均在格点(网格线
交点)上，那么∠AOC
(填“>”“<”或“=”)∠BOD.
图1.2-4
【解】 如图1.2-5，因为∠BOD=∠AOE，∠AOC<∠AOE，所以∠AOC<∠BOD.
【点评】 上面两个例题是利用叠合法比较两个角的大小，将两个角叠合在一起，让顶点重 合， 一边重合，再看对应的另外两边的位置，通过观察比较，即可得出答案，掌握角的大小的比 较方法是解题的关键.
| 专项突破·初中数学网格作图与计算
◎例3如图1.2-6，在正方形网格中，记∠ABF=a，∠FCH=B，∠DGE=y， 则 ( ) A.β【解】 如图1.2-7，由图可知，∠FBG<45°， 所以α=∠ABF=180°-45°-∠FBG>90°; 由 图
可知，∠MCH>45°，∠BCF=45°， 所以β=∠FCH=180°-∠BCF-∠MCH=180°-45°-∠MCH<
90°;由图可知，∠DGB=45° 了，∠EGB=45°， 所以y=∠DGE=∠DGB ∠EGB=45° 45°=90°， 所
以β
【点评】 本题把三个角分别计算出来，再进行比较大小.
三、方法归纳
1.用叠合法比大小.
2.用计算法比大小，即求出两角大小，再进行比较.
四、同步精练
1.如图所示的网格是正方形网格，则∠BAC (填“>”“=”或“<”)∠DAE.
(第1题)
2.如图所示的网格是正方形网格，则∠AOB (填“>”“=”或“<”)/COD 3.如图所示的网格是正方形网格，则∠AOB (填“>”“=”或“<”)∠COD.
第二章 相交线与平行线
2.1 作已知线段的平行线
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名师视频讲解
一、解题依据
1.同位角相等，两直线平行.
2.内错角相等，两直线平行.
二、典例精讲
◎ 例1 (2018·宁波中考题)如图2.1-1，在方格纸中，△ABC 的三个顶点都在格点上.
在图中作出线段 BD，使 BD//AC，其中D是格点.
图2.1-1
图2.1-2
【作法】 如图2.1-2，取格点 D，连接 BD，线段 BD 即为所求.
【理由】 同位角相等，两直线平行.
【点评】 过格点C作 CD//AB:线段AB 是mxn 长方形(由mn 个小正方形组成的m 行n 列 的网格图称为一个m×n长方形)的对角线，结合题意，可过点C 作m×n长方形的对角线 CD.
◎ 例 2 如图2.1-3，在正方形网格内，线段 PQ的两个端点都在格点上，网格内另有A，
B，C，D 四个格点，下面四个结论中，正确的是 A. 连接AB，则AB//PQ
C.连接 BD，则BD//PQ
( )
B.连接 BC，则 BC//PQ
D.连接AD，则AD//PQ
图2.1-3
图2.1-4
【解】 如图2.1-4，PQ 是2×4长方形的对角线，BC 是1×2长方形的对角线，则BC/P Q.
专项突破·初中数学网格作图与计算
【点评】 过格点C 作 CD//AB:线段AB是 2m×2n 长方形的对角线，当网格不够大时，结合
题意，可过点C 作 m×n 长方形的对角线 .
◎ 例 3 如图2.1-5，线段AB，AD，BC的端点均在格点上，线段 BC 与AD相交于点P， 请 用无刻度的直尺，过点P 作直线 PQ平行AB.
图2.1-5
F
图2.1-6
【作法】 如图2.1-6，取格点E，F， 连接EF.取格点M，N， 连接MN， 与 EF 相交于点 Q，作
直线 PQ， 直 线 PQ 即为所求.
【理由】 AB是小正方形的对角线所在的线段，要过点 P 作PQ//AB，可将点P 先沿竖直方 向向下平移1个单位长度，再沿水平方向向右平移1个单位长度，故AD，BC同时沿竖直方向向 下平移1个单位长度，沿水平方向向右平移1个单位长度即可得到MN，EF， 两线段交于点Q， 故 Q 为点 P的对应点.作直线 PQ，即 PQ//AB.
【点评】 过 非 格 点C 作 CD//AB: 线 段AB 是 m×n 长方形的对角线，可找到 C 是哪两条直 线的交点，将这两条直线看成一个整体，结合题意，将其沿竖直方向平移m 个单位长度，沿水平 方向平移n 个单位长度，得到点C 的对应点 D， 作 直 线CD 即可.
三、方法归纳
1.过格点C 作CD/AB: 线段AB是 m×n 长方形的对角线，结合题意，可过点C 作m×n 长方 形的对角线 CD.
2.过格点C 作 CD//AB:线段AB是 2m×2n 长方形的对角线，当网格不够大时，结合题意，可 过点C 作mxn 长方形的对角线.
3.过非格点C 作 CD//AB:线段AB 是 m×n长方形的对角线，可找到C 是哪两条直线的交 点，将这两条直线看成一个整体，结合题意，将其按竖直方向平移m 个单位长度，沿水平方向平 移n 个单位长度，得到点C 的对应点D，作直线CD即可.
四、同步精练
1.如图，点A，B 均在格点上，在图中使用无刻度直尺，过点C 作 直 线AB 的平行线.
(第1题)
(第2题)
第二章 相交线与平行线 |7
2.如图，在由小正方形组成的网格中，A，B，C 都是格点，请仅用无刻度的直尺作图，过点C 作AB的平行线.
3.如图，△ABC的顶点均为格点，AC与网格线交于点D， 作点E， 使DE//AB，DE=AB.
(第3题)
(第4题)
4.如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，格点P 是△ABC 内一格点. (1)过点P 作直线PM 平行AC，与BC 交于点M;
(2)在(1)的条件下，过点M 作直线MN平行AB.
专项突破·初中数学网格作图与计算
2.2 作已知线段的垂线
一、解题依据
1.两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，就称这两条直线互相垂直. 2.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
二、典例精讲
◎ 例1 (2023·江西中考题)图2.2-1是正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成 以下作图(保留作图痕迹).线段AB的端点均为格点，P 为格点，在图中的线段AB上作点Q， 使 PQ 最短.
图2.2-1 图2.2-2
【作法】 如图2.2-2，取格点 D，连接 PD交 AB 于点Q， 点 Q 即为所求.
【点评】 作PQ 最短，即作PQ⊥AB，AB 是2×2长方形的对角线，结合题意，可过点P 作 2x
2长方形的对角线.
◎ 例2 (2018·宁波中考题)在如图2.2-3所示的方格纸中，△ABC 的三个顶点都在格 点上.在图中作出线段BE， 使BE⊥AC，其中 E 是格点.
图2.2-3
图2.2-4
【作法】 如图2.2-4，取格点 E， 连接 BE， 线段 BE即为所求.
【点评】 过格点C 作CD⊥AB:线段AB是 m×n 长方形的对角线，结合题意，需要过点C 作
nxm 长方形的对角线即可.
◎ 例 3 在如图2.2-5所示的网格中，A，B，C 均为格点，只用无刻度的直尺按要求作图.
(1)过点C 作 AB的垂线CD， 垂足为D;
(2)连接CA，CB， 在线段CA，CB，CD 中，线段 最短.
第二章相交线与平行线
图2.2-5
( 1)【作法】如图2.2-6，取格点 E，作直线CE 交 AB 于点D， 直线 CD 即为所求.
【理由】 过格点C 作线段AB 的垂线：线段AB 是2×6长方形的对角线，结合题意，可过点 C 作6×2长方形的对角线；当网格不够大时，结合题意，可过点C 作3×1长方形的对角线.
(2)CD
【点评】 过格点C 作线段AB的垂线：线段AB是 2m×2n 长方形的对角线，当网格不够大 时，结合题意，可过点C 作n×m 长方形的对角线.
◎ 例 4 如图2.2-7，A，B，D，E，F，G 均为格点，DE 与 FG交于点 C， 请用无刻度的直尺，
过点C 作直线垂直AB.
图2.2-7 图2.2-8
【作法】 如图2.2-8，取格点M，N， 连接MN并延长，取格点Q，P， 连接 QP并延长，与MN 的延长线交于点 K，作直线 CK，直线CK 即为所求.
【理由】 线段AB是1×3长方形的对角线，过非格点C 作AB的垂线，因为C 不是格点，而 是 DE，GF 的交点，需要将DE，GF 同时先沿水平方向向右平移1个单位长度，再沿竖直方向向 下平移3个单位长度，平移后两直线交于一点，即为点C的对应点 K，连接直线 CK，直线 CK即
为所求 .
【点评】 过非格点C 作线段AB的垂线：AB是 m×n 长方形的对角线，先确定C 是哪两条 直线的交点，将这两条直线看成一个整体，结合题意，将其沿水平方向平移m 个单位长度，沿竖 直方向平移n 个单位长度，得到点C 的对应点D，直线 CD就是AB的垂线.
三、方法归纳
1.过格点C 作 CD⊥AB:线段AB是 m×n 长方形的对角线，结合题意，需要过点C 作n×m 长
方形的对角线即可.
10 | 专项突破·初中数学网格作图与计算
2.过格点C 作线段AB的垂线：线段AB是 2m×2n 长方形的对角线，当网格不够大时，结合
题意，可过点C 作n×m 长方形的对角线
3.过非格点C 作线段AB的垂线：AB是 mxn 长方形的对角线，先确定C 是哪两条直线的交 点，将这两条直线看成一个整体，结合题意，将其沿水平方向平移m 个单位长度，沿竖直方向平 移n 个单位长度，得到点C 的对应点 D， 直线 CD就是AB的垂线.
四、同步精练
1.(2022·河北中考题)在钉板示意图中，每相邻4个钉点是边长均为1个单位长度的小 正方形的顶点，钉点A，B 的连线与钉点C，D 的连线交于点E， 则 AB与 CD是否垂直? (填“是”或“否”).
(第1题)
2.(2022·衢州中考题)在如图所示的方格纸中，点A，B 都在格点上，请按要求画出格点线
段(线段的端点在格点上).在图中作一条线段垂直AB.
3.如图，△ABC的顶点均为格点，AC 与网格线交于点 D.过点D 作 AB的垂线 DN，N 为 垂足.
4.如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，格点P 是△ABC 内一点，△ABC 的顶点
均为格点.
(第4题)
(1)过点P 作直线 PD 平行AC，与 BC交于M 点 ；
(2)在(1)的条件下，过点M 作直线MN⊥AC.
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