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| 編輯推薦： |
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本书在保证内容上科学、系统的同时，力求多举实例，讲解由浅入深，注重多角度诠释难点，并采用边注的形式对难点内容进行启发和总结，降低抽象理论的理解阈值，适合作为高等院校线性代数相关课程的教材使用。
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| 內容簡介： |
本书依据 “工科类本科线性代数课程教学基本要求”，突出顺应信息化时代人才培养需求，聚 焦线性代数核心概念及应用，降低学科学习门槛，提高自主学习效益，是一次由“教材”迈向“学材”
的探索实践。
本书包括行列式、矩阵及其运算、向量组理论、相似矩阵及二次型、Python 编程应用等内容， 以线性方程组和线性变换为主线，精心编排，双线并进，凸显线性代数的逻辑结构，展现不同维 度下的统一美。绪论章节简明导入，无缝衔接高中与大学数学，运用丰富图解与实例，低门槛引 导读者进入线性代数世界；由简单到复杂，从特殊到一般，融合代数与几何视角探究问题，强调 数学思想与科学思维的内化；语言表述通俗易懂，例证丰富，边注精辟；采用 Python 求解问题， 强化实践技能与算法思维训练。全书旨在构建一条从基础到进阶、从理论到实战的流畅学习路径。
本书可作为高等院校理工类非数学专业、军队院校高等教育相关专业的教材，也可作为新工 科背景下线性代数教学实践的教师参考用书。
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| 目錄：
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第 1 章 绪论 1
1.1 引言 1
1.1.1 线性与非线性 1
1.1.2 线性代数的研究内容 2
1.1.3 线性代数的学习建议 3
1.2 向量和向量空间 3
1.2.1 向量的概念 3
1.2.2 向量的线性运算 5
1.2.3 向量的转置、内积及度量性质 8
1.2.4 向量空间中的线性变换 10
1.3 线性方程组 15
1.3.1 线性方程组的定义 15
1.3.2 线性方程组的解 15
1.3.3 消元法 16
习题 1 18
第 2 章 行列式与线性方程组 19
2.1 行列式的定义 19
2.1.1 二阶与三阶行列式 19
2.1.2 排列及其逆序数 23
2.1.3 n 阶行列式 24
2.1.4 行列式的几何意义 26
2.2 行列式的性质 29
2.3 行列式按行 (列) 展开 37
2.4 利用行列式解线性方程组：克拉默法则 44
习题 2 48
第 3 章 矩阵与线性方程组 52
3.1 矩阵 52
3.1.1 矩阵的定义 52
3.1.2 矩阵与线性变换 57
3.2 矩阵的运算 59
3.2.1 矩阵的线性运算 59
3.2.2 矩阵的乘法 60
3.2.3 矩阵的转置 68
3.3 方阵的行列式 70
3.4 逆矩阵 72
3.4.1 逆矩阵的概念 72
3.4.2 矩阵可逆的条件 73
3.4.3 逆矩阵的性质 76
3.4.4 方阵的多项式 77
3.4.5 利用逆矩阵解线性方程组 81
3.5 分块矩阵. 83
3.5.1 分块矩阵的定义. 83
3.5.2 分块矩阵的运算. 84
3.6 矩阵的初等变换 90
3.6.1 初等变换 90
3.6.2 矩阵等价 92
3.6.3 利用初等变换解线性方程组 93
3.6.4 利用初等变换求逆矩阵 99
3.6.5 利用初等变换求矩阵方程 100
3.7 矩阵的秩 101
3.7.1 矩阵的秩的定义 102
3.7.2 用初等变换求矩阵的秩 104
3.7.3 矩阵的秩的性质 106
3.8 线性方程组的解 108
3.8.1 线性方程组的表示形式 108
3.8.2 线性方程组解的含义 109
3.8.3 线性方程组解的判定 110
习题 3 118
第 4 章 向量组与线性方程组 126
4.1 向量组的线性相关性 127
4.1.1 向量组 127
4.1.2 向量组的线性组合 128
4.1.3 线性相关与线性无关 140
4.2 向量组的秩 150
4.2.1 最大线性无关组 151
4.2.2 矩阵的秩与向量组的秩 153
4.3 向量空间 156
4.3.1 向量空间的基 156
4.3.2 标准正交基 158
4.3.3 施密特正交化方法 159
4.3.4 基变换与坐标变换 163
4.4 线性方程组的解的结构 166
4.4.1 齐次线性方程组解的结构 167
4.4.2 非齐次线性方程组解的结构 173
习题 4 176
第 5 章 相似矩阵及二次型 180
5.1 方阵的特征值与特征向量 180
5.1.1 特征值和特征向量的概念 181
5.1.2 特征值和特征向量的求法 183
5.1.3 特征值和特征向量的性质 186
5.2 相似矩阵 191
5.2.1 相似矩阵的概念与性质 192
5.2.2 矩阵可相似对角化的条件 194
5.3 对称矩阵的相似对角化 201
5.3.1 对称矩阵特征值的性质 201
5.3.2 对称矩阵对角化的方法 203
5.4 二次型及其标准形 207
5.4.1 二次型及其矩阵表示 207
5.4.2 二次型与二次函数 211
5.5 化二次型为标准形 213
5.5.1 正交变换法 213
5.5.2 配方法 220
5.6 正定二次型 222
习题 5 226
第 6 章 数学实验及 Python 实现 229
6.1 利用 Python 进行矩阵运算 230
6.1.1 向量、矩阵的 Python 表示 230
6.1.2 常见矩阵运算的 Python 求解 236
6.1.3 利用 Python 求矩阵的行最简形矩阵 241
6.2 利用 Python 求解线性方程组 242
6.3 利用 Python 求解相似矩阵、二次型问题 248
6.3.1 利用 Python 将向量组正交化、单位化 248
6.3.2 利用 Python 求方阵的特征值、特征向量 249
6.3.3 利用 Python 将方阵相似对角化 252
6.3.4 利用 Python 将二次型标准化 253
参考文献 256
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| 內容試閱：
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在数字时代，随着计算机技术的飞速发展，作为研究与处理数据的基础理论，线性代数在自然科学、经济发展、工程技术、国防科技、工农业生产等领域中的基础地位日益凸显。此外，线性代数作为培养逻辑思维、抽象思维和计算能力的有效载体，是高等院校理工科非数学专业的重要数学基础课程。线性代数不仅为学习后续专业课程提供的基础知识，也是人工智能、数据挖掘、运筹分析、量子理论等技术领域中的重要数学工具。
线性代数课程内容抽象，数学概念、定义、定理多，知识之间的联系非常密切，如何在有限的学时内学好线性代数，使读者深刻理解线性代数的内涵本质、核心观点和关键方法，是教与学的一大难点。为了突破这一难点，有必要从学习者的角度出发，为其提供更加通俗易懂的学习资料，使其通过自学便能初步掌握线性代数的主要内容。为此，我们借鉴大量国内外优秀教材，结合多年的教学经验编写本书。具体而言，本书具有如下特点。
(1) 学习起点低。 读者只需具备中学数学基础，即可开展自学。第1章绪论部分建立了初等数学和高等数学中“空间解析几何与向量代数”与线性代数之间的桥梁，主要介绍什么是线性、什么是线性运算和线性代数、线性代数主要研究什么问题、向量和向量空间的基本概念、线性方程组的基本概念等，辅以图文示意讲解、旁注讲解、大量举例讲解，适合自学。 本章提到的关键词(如向量、向量空间、线性方程组等)会在后续章节中反复出现，结合具体的例题和方法，使读者对这些概念的理解不断深化。
(2) 注重数学思想的渗透和科学思维的培养。 将从具体到抽象、从特殊到一般、“升维推广式研究”与“降维打击式解题”相结合等方法融入课程内容。
例如，在阐述每一节内容时，一般采用问题驱动的方式进行组织，即“发现问题→探究知识内涵→知识应用”，逻辑上更加符合学生的学习习惯和思维方式。
又如，采用从特殊到一般的思维模式，将低维空间中向量的相关概念、性质及规则推广至 n 维向量的情形，并进一步拓展至无穷维，阐述向量组与矩阵、向量组与线性方程组的内在联系，将向量空间中的基、标准正交基、如何由普通基得到标准正交基(施密特正交化、单位化)、基变换与坐标变换等问题有机融合在向量空间这一节，相较于传统教材的处理方式，问题的关联性更为凸显，知识衔接更为自然。
再如，突出从几何(线性变换)的角度阐述相似矩阵及二次型，加强对特征值与特征向量、相似变换、二次型及其标准问题的内涵挖掘深度，采用由观察代数现象和几何现象、发现规律、总结规律、一般化验证、得出定义定理的思路进行叙述，凸显解决重点问题的算法思维、程序思维和数形结合能力。
(3) 课程内容的组织结构合理。 为了凸显线性代数课程内容的脉络、主题、思想和结构，突出基本概念的内涵，{以线性方程组这一数学研究对象为显性主线、以线性变换这一线性代数的核心概念和观点为隐性主线}，采用代数与几何相结合的视角组织内容，从而揭示行列式、向量、矩阵、向量空间、线性方程组、特征值与特征向量、二次型等内容之间的关联关系，为读者打通知识脉络。此外，全书的内容组织结构也兼顾了教学进度需求，章节设置合理，适合32~48学时的教学。下面给出40学时的学时分配方案，教学组织中可根据实际情况在此基础上调整。
40学时的学时分配方案(含习题课)
章节 推荐学时
第1章 绪论 自学
第2章 行列式与线性方程组 6学时
第3章 矩阵与线性方程组 14学时
第4章 向量组与线性方程组 10学时
第5章 相似矩阵及二次型 8学时
第6章 数学实验及Python实现 2学时
(4)语言通俗易懂。 在保证教材内容科学、系统的同时，力求多举实例，讲解由浅入深，注重多角度诠释难点，并采用边注的形式对难点内容进行启发和总结。需要说明的是，本书多处采用了更为通俗化、生活化的语言对知识进行描述，降低抽象理论的理解阈值，更适合读者自学。
(5)介绍Python及其在求解线性代数问题上的应用。 一方面是助力读者真正将线性代数知识应用于生活工作实际；另一方面是在大数据背景下，借助计算机程序将知识活学活用，进一步加深对知识的理解。 种下理论与实践相结合的种子，才能收获内外通透的珍果。
本书由李雪飞、庞世春主编，其中第1~3章由庞世春编写；第4~6章由李雪飞编写。 李娜、孙佳慧、李秋月、冯雪参与了各章习题拟制等工作。
在本书的编写过程中，我们参阅并借鉴了大量国内外相关教材和资料，得到了清华大学出版社的大量帮助和指导，在此一并表示衷心的感谢！
限于编者的学识水平，本书不足之处在所难免，恳请广大读者、同行批评、指正。
编者
2024年1月
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